找到 main 函数
1 | scanf("%s", Str); |
判断输入字符串是否为 49
此处 v3 和 v10 其实是一个变量，将对应的Str[i] 减去 48 储存到 box 中，0 ASCII 码值为48，实则为字符转数字，49长度的字符串转为每9个一行
check1
1 | for ( i = 0; i <= 8; ++i ) |
每一行，需要满足 1-9 的数字都出现一次
check2
1 | for ( i = 0; i <= 8; ++i ) |
同样的，每一列，需要满足 1-9 的数字都出现一次
check3
1 | for ( i = 0; i <= 8; i += 3 ) |
为了检查每个 3x3 的小方格是否包含 1-9 的数字
那么 box 实际为一个满足数独要求的 9x9 的二维数组，输入的字符串长度为49
实际上可以从puts_0("Enjoy the beauty of reverse and sudoku!");看出这里是数独
最后输出：
1 | for ( k = 0; k < strlen(Str); ++k ) |
magic 数组：
1 | .data:0000000000404080 magic db 6Bh, 2, 66h, 70h, 44h, 69h, 7Eh, 6Eh, 43h, 4Ah, 78h |
64 位，即
1 | 6B 02 66 70 44 69 7E 6E 43 4A 78 4A 6D 60 56 00 51 59 50 43 50 51 6D 74 02 55 50 52 6E 6F 79 40 5D 4B 1E 19 1C 74 03 54 07 4C 52 6A 60 50 58 40 58 0F 00 |
同时可查询到 box 数组默认值
1 | .data:0000000000404020 box db 2 dup(0), 5, 2 dup(0), 4, 3, 6, 5 dup(0), 5, 2 dup(0) |
即
1 | 0 0 5 | 0 0 4 | 3 6 0 |
解数独
1 | 8 2 5 | 9 1 4 | 3 6 7 |
对应应该输入的字符串为：
1 | 8291767138932581849755263447186268341129653538127 |
1 | # ./chall.exe |
1 | moectf{S0_As_I_prAy_Un1imited_B1ade_WOrks---E1m1ya_Shiro} |
静态链接，C++ 代码编写
1 | std::operator<<<std::char_traits<char>>(&_TMC_END__, "Welcome to MoeCTF 2020!\nPlease input your flag here >>", envp); |
输入了一个长度为 22 的字符串
1 | __int64 __fastcall sub_0() |
进行了多次加密，顺序为
1 | sub_0 -> sub_1 -> sub_2 -> ... ->sub_1996 -> sub_1997 -> sub_1998 -> sub_1999 |
主函数主要是比较输入的字符串的和 key字符串的每个字符是否相同，key 字符串为：
1 | .data:0000000000074060 key db 2, 0Ah, 6, 16h, 13h, 1Ch, 2, 4Dh, 41h, 28h, 3Dh, 56h |
即
1 | 02 0A 06 16 13 1C 02 4D 41 28 3D 56 52 39 19 70 51 1B 5A 59 7A 22 |
通过动态调试知道第 k 个输入只影响输出 k 和k-1
我们知道 flag 字符串前面是固定的 meoctf{，所以可以尝试写gdb_python 脚本爆破
1 | import gdb, string |
上面这个代码的逻辑就是不断尝试调用 sub0 来爆破flag，如果下一位算出来的答案是 key[j]那么就说明这个字符是正确的
1 | pwndbg> source solution.py |
得到 flag
1 | moectf{y0u_a2e_G0d~!} |
搜索字符串发现可疑字符串
1 | .rdata:0000000140005470 unk_140005470 db 6Dh ; m ; DATA XREF: main+163↑o |
main+163 处有交叉引用，这边直接 UTF8 解码得到
1 | moectf{世界で一番幸せな女の子—ＣＨＴＨＯＬＬＹ—} |
main 函数有点复杂
先根据程序的输出对应一下
1 | # ./CxxIntro.exe |
找到 cout 对象
1 | sub_1400026E0(std::cout, &unk_1400054E0); |
&unk_1400054E0 就是那一串日文
最后 v32 = sub_140002EA0(std::cout, v31, v30[2]);
预估是将输入进行一系列变换之后的结果
根据汇编代码，缺失的 v21 为 cin输入的字符串，v22 为字符串转为字节的字节串
修改相关变量：
1 | sub_1400026E0( |
random 函数查看：
1 | __int64 __fastcall random(unsigned int *a1) |
这个为 MT19937 实现的梅森旋转算法（随机数生成函数）
1 | _QWORD *__fastcall push_back(_QWORD *Src, __int64 a2, __int64 a3, char a4) |
v9 = (v4 + 1) | 0xF; 为新容量计算，v10 + v8即容量+容量/2 为典型的动态数组扩容策略，则该函数为std::vector 的 push_back 实现
那么上述流程即位将输入的字符串转为字节串，然后每个字节与random 函数生成的随机数进行异或，暂存到 Src中，调用 sub_140001380 进行处理，最后输出到cout 中
这里的 Block 为上述构建的，sub_140001380为自定义算法
1 | // Hidden C++ exception states: #wind=1 |
记 i 为字节索引，j为累加器，每次加上上次取出的值 SBoxChar1
这个函数为取出之前生成的 Block 里面的内容，取出两个值SBoxChar1=Block[i >> 4][j & 0xF] 和SBoxChar2[i >> 4][(j + SBoxChar1) & 0xF]，接着交换SBoxChar1 和SBoxChar2，然后计算key = Block[(SBoxChar1 + SBoxChar2) >> 4][(SBoxChar1 + SBoxChar2) & 0xF]，与函数传入的 a3 进行逐字节异或，放到输出字符串中
接下来查看 Block 怎么初始化的
1 | for ( i = 0; i < 0x10; ++i ) |
每一行的第一个字符为 73 * (i + 1)，即49 92 135 178 221 8 51 94 137 180 223 66 109 152 195 238，然后经过了一系列变化，发现这个变化是固定的，动态拿到Block 的值
编写 IDA-python 脚本
1 | import idc |
得到 SBOX
1 | const unsigned char SBOX[16][16] = { |
从 main 函数来看，输入 -> random 异或-> sub_140001380 处理 ->输出，这个序列是确定的，但是和 flag 似乎没有关系
但注意到在 .rodata 段下面有一个字符串：
1 | magic{75b1743a9200a5bc60c70b666eaad2911ddb2292eed4d3d2b7ebc7867b2aa5499949810031756dcdc1dc6500} |
这个字符串比较奇怪，通过尝试可以知道：
75b1743a9200a5bc60c70b666eaad2911ddb2292eed4d3d2b7ebc7867b2aa5499949810031756dcdc1dc6500通过逆sub_140001380 处理后得到结果
编写脚本
1 | from pathlib import Path |
或者：
1 | magic = bytes.fromhex( |
输出：
1 | moectf{CHTHOLLY_the_best__sukasuka_the_best} |
flag 为：
1 | moectf{CHTHOLLY_the_best__sukasuka_the_best} |
神秘 .lisp 文件，居然还有 .lisp 玩的
最后给了注释：
1 | ;;;;flagis"&Dx16Y!x3xYDlShWbQ5hmzWf3EZly6h8UwD#d-1-&#WlDHJaxM5qAzlPP" |
大致浏览一下，发现这是一个简单的 base57 编码器
定义 alphabet 为AB#DEd@f&hi!klmnLMw3^5678N}PF|HIxyz012JKYZab%Q{SUVWX-pqrs
len 为长度，即 57
定义函数 divmod 返回 values包括商和余数
定义加密函数 encode：字符串倒序转化为 256进制大整数，再转为 57 进制数，最后输出密文
编写解密函数
1 | alphabet = "AB#DEd@f&hi!klmnLMw3^5678N}PF|HIxyz012JKYZab%Q{SUVWX-pqrs" |
不对！
查看官方仓库发现题出错了
实际上注释应该是
1 | ;;;;flagis"6dsJ6lbHyhBXHfKnYdEddMU@0JKA^hlW0MMyx^3rpMM{{&Q-lnLrZBbbKJy" |
无敌了
flag
1 | moectf{woO0Oow_Y0u-ar3_th3_g0D_0f_LIIIISP!} |
查壳
UPX 壳，去掉
1 | # ./upx.exe -d Art.exe |
1 | scanf("%s", Str1); |
Str1 为输入，然后诸位运算得到结果
1 | Str1[i - 1] ^= (Str1[i - 1] % 17 + Str1[i]) ^ 0x19; |
那么
1 | Str1[i] = (Str1[i - 1] ^ 0x19) - (Str1[i - 1] % 17) |
1 | _BOOL8 __fastcall sub_401550(const char *a1) |
这个为计算 SHA-256 哈希
具体过程为：sub_401B66 初始化，sub_401BE0处理字符串每 64 个就执行 sub_401710压缩，具体压缩过程略过，最后调用 sub_401C7D
和最终储存的 &unk_404040 比较
储存为
1 | 40f53ff2b934da894ed3ff1f6e76c68a30ed92bcf764e839d5b31196d0899287 |
那这个主函数主要是进行了一个逐字节的异或运算，然后计算 SHA-256哈希，分别和预设值比较，反过来只需要通过异或值反推答案再计算 SHA-256查看是否正确即可
1 | import hashlib |
得到 flag
1 | moectf{Art_i5_b14s7ing!!!!!} |
apk 文件，解压看看，存在 classes*.dex，这是 Android 的Dalvik 字节码文件，使用 jadx 反编译工具可以将其反编译为Java 源代码。
直接搜索发现存在 flag
flag 为
1 | moectf{Andr01d_1s_so00oo_e@sy_t0_cr4ck!!!} |
自定义 base64
1 | strcpy(base64, "1wX/yRrA4RfR2wj72Qv52x3L5qa="); |
1 | .rdata:0000000140009000 aAbcdefghijklmn db 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyz0123456789+/ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ',0 |
编写脚本
1 | import base64 |
得到 flag
1 | moectf{qwqbase_qwq} |
和上面那题 hash 差不多，不过这个是 SHA-1，还是自定义的
1 | from pathlib import Path |
得到 flag
1 | moectf{F1nd_th3_SEH_7hen_B1a5t_My_Fla9_and_Y0u_Can_Get_A_Cup_Of_Milk_Tea_From_YunZh1Jun} |
NET 6，反编译得到：
1 | internal class D_flate |
这个 ASCII 储存 flag，编写脚本
1 | arr = [ |
得到 flag
1 | moectf{D_flate_is_C_sharp!} |
设谓词演算 \(K\)的语言中有一个特殊的二元谓词符号
等词公理分为三类。
第一类是自反性： \[\text{(E1)}\qquad t\approx t\]
第二类是函数符号中的替换性。若
第三类是谓词符号中的替换性。若
其中 \(t,t_1,\dots,t_n,u\)都是任意项，\(k=1,\dots,n\)
这三类公理共同表达的是：相同的对象可以在函数项和谓词公式中互相替换。
注意，等词公理本身一般不是普通谓词逻辑的有效式。若解释域中把
设解释域 \(M\) 中
任取赋值 \(\varphi\)
对 (E1)，任意项 \(t\) 的解释都是\(M\) 中的一个对象，当然有
对 (E2)，若 \[|t_k\approx u|(\varphi)=1\] 则 \[\varphi(t_k)=\varphi(u)\] 函数解释保持输入相等时输出相等，于是
对 (E3)，若 \(t_k\) 与
因此所有等词公理在把 \(\approx\)解释为真正相等关系的解释域中都为真
在等词公理集 \(E\) 中，对任意项\(t,u,v\)，有：
也就是说，虽然等词公理只显式列出自反性和替换性，但对称性、传递性可以推出
先证明对称性。
由 (E3) 用公式 \(x\approx t\)作替换性质，可得 \[t\approx u\to (t\approx t\to u\approx t)\] 又由 (E1) 有 \[t\approx t\] 所以用 MP 得 \[t\approx u\to u\approx t\]
再证明传递性
已知刚证明的对称性： \[t\approx u\to u\approx t\] 由 (E3) 对公式 \(u\approx v\)替换，可得 \[u\approx t\to (u\approx v\to t\approx v)\] 把两式用假言三段论连接，即得 \[t\approx u\to (u\approx v\to t\approx v)\]
若 \(t(u)\) 是含有项
若 \(p(u)\) 是含有项
第一式对项 \(t(u)\)的构造层次归纳
若 \(t(u)\) 本身就是
若 \[t(u)=f(t_1,\dots,t_k(u),\dots,t_n)\] 则归纳假设给出 \[u\approx v\to t_k(u)\approx t_k(v)\] 再由 (E2) 得 \[t_k(u)\approx t_k(v)\tof(t_1,\dots,t_k(u),\dots,t_n)\approxf(t_1,\dots,t_k(v),\dots,t_n)\] 合并即得项替换
第二式对公式 \(p(u)\) 的层次归纳
原子公式情形由 (E3)和第一部分的项替换得到。否定、蕴涵等联结词情形由命题逻辑规则处理。量词情形要注意：只有当被替换项中的自由变元不会被量词捕获时，才能把替换推进到量词内部
所以等词系统不仅能处理 \(u=v\)的基本性质，也能处理“相等对象在任意上下文中可以替换”的形式化规则
这一节的作用在于给形式算术提供等式推理工具。后面证明
把形式算术 \(K_N\)看成一种特殊的带等词谓词演算。它的语言只有描述自然数算术所需的符号：
因此项可以写成： \[\bar 0,\quad x,\quad t',\quad t_1+t_2,\quad t_1\times t_2\]
在标准自然数解释域 \[\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}\] 中，\(\bar 0\) 解释为
自然数 \(n\) 对应的闭项称为
\(K_N\) 的算术公理记作公理集
后继不为零： \[\text{(N1)}\qquad t'\not\approx \bar0\]
后继单射： \[\text{(N2)}\qquad t_1'\approx t_2'\to t_1\approx t_2\]
加法对零的归约： \[\text{(N3)}\qquad t_1+\bar0\approx t_1\]
加法对后继的归约： \[\text{(N4)}\qquad t_1+t_2'\approx (t_1+t_2)'\]
乘法对零的归约： \[\text{(N5)}\qquad t_1\times\bar0\approx \bar0\]
乘法对后继的归约： \[\text{(N6)}\qquad t_1\times t_2'\approx t_1\times t_2+t_1\]
归纳公理模式： \[\text{(N7)}\qquadp(\bar0)\to\bigl(\forall x(p(x)\to p(x'))\to \forall x\,p(x)\bigr)\] 其中 \(p(x)\) 是任意公式
这七类公理的含义分别对应 Peano 算术中关于
注意，(N7) 不是一条公理，而是一个公理模式。每取一个公式
在自然数标准解释域 \(\mathbb N\)中，\(N\) 中所有算术公理都为真
(N1) 表示任何自然数的后继都不是
(N2) 表示若 \[n+1=m+1\] 则 \[n=m\] 这就是后继函数的单射性
(N3)、(N4) 是加法的递归定义： \[n+0=n\] \[n+(m+1)=(n+m)+1\]
(N5)、(N6) 是乘法的递归定义： \[n\cdot0=0\] \[n\cdot(m+1)=n\cdot m+n\]
(N7) 是自然数归纳法的形式化。若某性质对
所以标准自然数解释是 \(K_N\)算术公理的模型
对任意自然数 \(m,n\)，
对 \(n\) 作普通自然数归纳
当 \(n=0\) 时，由 (N3) 得
设 \[N\vdash \bar m+\bar n\approx \overline{m+n}\] 则由 (N4) 得 \[\bar m+\bar n'\approx (\bar m+\bar n)'\] 由归纳假设和等项替换得 \[(\bar m+\bar n)'\approx \overline{m+n}'\] 即 \[(\bar m+\bar n)'\approx \overline{m+n+1}\] 用传递性合并： \[N\vdash \bar m+\overline{n+1}\approx \overline{m+n+1}\]
所以对所有 \(n\) 成立
这里的归纳是元语言中的归纳，即我们在证明关于所有自然数
对任意自然数 \(m,n\)，
对 \(n\) 作普通自然数归纳
当 \(n=0\) 时，由 (N5) 得
设 \[N\vdash \bar m\times\bar n\approx \overline{mn}\] 由 (N6) 得 \[\bar m\times\bar n'\approx \bar m\times\bar n+\bar m\] 由归纳假设、等项替换和命题 18.2.3 得
虽然 (N3) 只给出 \[t+\bar0\approx t\] 但在 \(N\) 中可以证明
对公式 \[p(x)\equiv \bar0+x\approx x\] 使用 (N7)。
基础步： \[\bar0+\bar0\approx \bar0\] 由 (N3) 得到
归纳步需要证明 \[\bar0+x\approx x\to \bar0+x'\approx x'\] 由 (N4) 有 \[\bar0+x'\approx(\bar0+x)'\] 若 \(\bar0+x\approxx\)，则由等项替换得 \[(\bar0+x)'\approx x'\] 于是由传递性得 \[\bar0+x'\approx x'\]
所以 \[N\vdash \forall x(\bar0+x\approx x)\] 再用全称实例化得到 \[N\vdash \bar0+t\approx t\]
若 \(m\neq n\)，则
不妨设 \(m>n\)。则
例如 \[\bar3\approx \bar1\] 即 \[\bar0'''\approx \bar0'\] 由 (N2) 得 \[\bar0''\approx \bar0\] 但 \(\bar0''\)是某项的后继，由 (N1) 得矛盾
一般情形同理，所以 \[N\vdash \bar m\not\approx\bar n\]
形式算术 \(K_N\)的意义是为后面“用公式表达自然数函数和关系”提供了一个形式系统
开始讨论 \(K_N\)对自然数性质的表达能力，注意区分：
“可表示”就是把前者翻译成后者
设 \[f:\mathbb N^k\to\mathbb N\] 是 \(k\)元数论函数。若存在含有 \(k+1\)个自由变元的 \(K_N\) 公式
若 \[f(n_1,\dots,n_k)=m\] 则 \[N\vdash p(\bar n_1,\dots,\bar n_k,\bar m)\]
若 \[f(n_1,\dots,n_k)\neq m\] 则 \[N\vdash \neg p(\bar n_1,\dots,\bar n_k,\bar m)\]
并且对任意在 \(p\) 中代替
则称 \(f\) 在
第三个条件表达“输出唯一性”：如果
第二个条件在有第三个条件时可以推出，但为了后面使用方便，定义中仍把它列出来。
函数 \(f\) 可由公式
只需要从这两个条件推出定义中的“错误值可证否定”
设 \[f(\vec n)\neq m\] 由命题 18.2.6， \[N\vdash \bar m\not\approx\overline{f(\vec n)}\]
又由第二个条件，把 \(t\) 取成
由换位律和命题逻辑推理可得 \[N\vdash\neg p(\bar n_1,\dots,\bar n_k,\bar m)\]
所以定义中的错误值条件成立
公式要表示函数，必须对每个输入有唯一输出。例如公式
一个公式也不可能表示两个不同函数。若同一公式
这也说明，公式和函数之间不是一一对应
\(K_N\)的公式只有可数多个，而自然数上的数论函数有不可数多个，所以大量数论函数不能被\(K_N\) 公式表示
后面真正重要的结论是：凡是递归函数都可表示
\(k\) 元投影函数
投影函数在 \(K_N\) 中由公式
二元加法、二元乘法和所有投影函数都在
加法由公式 \[x_1+x_2\approx y\] 表示。
若 \(n_1+n_2=m\)，由命题 18.2.3 得\[N\vdash \bar n_1+\bar n_2\approx\bar m\] 即 \[N\vdash p(\bar n_1,\bar n_2,\bar m)\]
若 \(n_1+n_2\neq m\)，则由命题18.2.6 得 \[N\vdash \bar m\not\approx \overline{n_1+n_2}\] 又由 \[N\vdash \bar n_1+\bar n_2\approx\overline{n_1+n_2}\] 和等词推理推出 \[N\vdash \neg(\bar n_1+\bar n_2\approx\bar m)\]
输出唯一性来自等词传递性
乘法用公式 \[x_1\times x_2\approx y\] 表示，证明同理，用命题 18.2.4
投影函数由定义中的公式表示。若 \(y\)等于第 \(i\)个输入，公式可证；若不等，由不同数字不等可证否定；输出唯一性由等词传递性得到
设 \[R\subseteq\mathbb N^k\] 是 \(k\)元数论关系。若存在含有 \(k\)个自由变元的公式 \[p(x_1,\dots,x_k)\] 使得对任意 \(n_1,\dots,n_k\in\mathbbN\)：
若 \[(n_1,\dots,n_k)\in R\] 则 \[N\vdash p(\bar n_1,\dots,\bar n_k)\]
若 \[(n_1,\dots,n_k)\notin R\] 则 \[N\vdash \neg p(\bar n_1,\dots,\bar n_k)\]
则称 \(R\) 在
相等关系可由公式 \[x_1\approx x_2\] 表示。
小于等于关系可由公式 \[\exists z(z+x_1\approx x_2)\] 表示，因为 \(n_1\le n_2\)当且仅当存在 \(z\) 使
小于关系可由 \[\exists z(z'+x_1\approx x_2)\] 表示。
关系 \(R\subseteq\mathbb N^k\)的特征函数 \(C_R\) 定义为
特征函数把关系问题转化成函数问题
\(k\) 元关系
先设 \(R\) 由公式
若 \(\vec n\in R\)，则
若 \(\vec n\notin R\)，则
反过来，若 \(C_R\) 由公式
若 \(\vec n\in R\)，则
若 \(\vec n\notin R\)，则
所以 \(R\) 可表示
先证明两个技术结论：函数复合保持可表示性，最小数算子
设 \(j\) 元函数
设 \(g\) 由公式
定义公式 \[P(\vec x,y)\equiv\exists y_1\cdots\exists y_j\left(\bigwedge_{i=1}^{j}r_i(\vec x,y_i)\wedgeq(y_1,\dots,y_j,y)\right)\]
若 \[f(\vec n)=m\] 令 \[a_i=h_i(\vec n)\] 则由 \(h_i\) 可表示性，
若 \(P(\bar{\vec n},t)\) 成立，由各\(r_i\) 的输出唯一性可推出
由命题 18.3.2，\(P\) 表示
设 \(g(\vec n,x)\) 是
这个 \(x\) 称为方程
若不要求根总是存在，则 \(\mu\)算子可能产生部分函数。汪芳庭在定义递归函数时先讨论处处有定义的函数，因此使用\(\mu\) 算子时常附带“根存在性条件”
若 \(g(\vec n,x)\) 在
设 \(g\) 由公式
定义公式 \[P(\vec x,z)\equivq(\vec x,z,\bar0)\wedge\forall u\bigl(q(\vec x,u,\bar0)\to z\le u\bigr)\] 其中 \[z\le u\] 用已经可表示的小于等于公式表示。
若 \[f(\vec n)=r\] 则 \(g(\vecn,r)=0\)，且对任意 \(u\)，若\(g(\vec n,u)=0\)，则
若 \(P(\bar{\vec n},t)\) 成立，则\(t\) 是一个根，并且不大于任何根。由于\(f(\vec n)\) 是最小根，
所以 \(P\) 表示
暂时离开形式系统
递归函数从三个基本函数出发。
零函数： \[z(n)=0\]
后继函数： \[s(n)=n+1\]
投影函数： \[p_i^k(n_1,\dots,n_k)=n_i\]
然后允许有限次使用以下三条规则
规则 I：复合。若 \[g,\ h_1,\dots,h_j\] 已经得到，则 \[f(\vec n)=g(h_1(\vec n),\dots,h_j(\vec n))\] 也得到
规则 II：递归。若 \(g\) 是
规则 III：\(\mu\) 算子。若
由基本函数经过有限次规则 I、II、III得到的函数称为递归函数或一般递归函数
若只允许规则 I 和规则 II，不允许规则III，则得到的函数称为原始递归函数
若去掉规则 III中的根存在性要求，则可能得到不处处有定义的函数，这类函数称为递归偏函数或部分递归函数
\(k\) 元常值函数
先构造 \(c_0\)：
若 \(c_m\) 已经得到，则
所以对 \(m\)作归纳，所有常值函数都是递归函数
加法由递归规则定义： \[n_1+0=p_1^1(n_1)\] \[n_1+(n+1)=s(p_3^3(n_1,n,n_1+n))\]
换成更熟悉的写法就是： \[n_1+0=n_1\] \[n_1+(n+1)=(n_1+n)+1\]
乘法由递归规则定义： \[n_1\times0=z(n_1)\] \[n_1\times(n+1)=p_3^3(n_1,n,n_1\times n)+p_1^3(n_1,n,n_1\times n)\] 即 \[n_1\times0=0\] \[n_1\times(n+1)=n_1\times n+n_1\]
因为加法已经递归，所以乘法也递归
前驱函数定义为 \[p^{-}(n)=\begin{cases}0, & n=0\\n-1, & n>0\end{cases}\]
它递归，因为 \[p^{-}(0)=0\] \[p^{-}(n+1)=n=p_1^2(n,p^{-}(n))\]
截差函数定义为 \[n_1\mathbin{\dot-} n_2=\begin{cases}n_1-n_2, & n_1\ge n_2\\0, & n_1<n_2\end{cases}\]
它递归，因为 \[n_1\dotminus0=n_1\] \[n_1\dotminus(n+1)=p^{-}(n_1\dotminus n)\]
前驱函数还可以写成 \[p^{-}(n)=n\dotminus1\]
定义 \[\operatorname{sg}(n)=\begin{cases}0, & n=0\\1, & n>0\end{cases}\]
以及 \[\overline{\operatorname{sg}}(n)=\begin{cases}1, & n=0\\0, & n>0\end{cases}\]
\(\operatorname{sg}\) 是递归的，因为\[\operatorname{sg}(0)=0\] \[\operatorname{sg}(n+1)=1\]
而 \[\overline{\operatorname{sg}}(n)=1\dotminus \operatorname{sg}(n)\] 所以
这两个函数常用来构造关系的特征函数。例如
若 \(f\) 是
因为 \[n_{m_i}=p_{m_i}^{\,l}(n_1,\dots,n_l)\] 所以 \[g(\vec n)=f(p_{m_1}^{\,l}(\vec n),\dots,p_{m_k}^{\,l}(\vec n))\] 是 \(f\)与投影函数的复合。
投影函数递归，递归函数对复合封闭，所以
这个命题常用来“减元”“换元”和“增元”。例如三元函数
绝对差： \[|n_1-n_2|=(n_1\dotminus n_2)+(n_2\dotminus n_1)\] 所以递归。
最小值： \[\min(n_1,n_2)=n_1\dotminus(n_1\dotminus n_2)\] 多元最小值递归地定义为 \[\min(n_1,\dots,n_k)=\min(\min(n_1,\dots,n_{k-1}),n_k)\] 最大值同理可由 \[\max(n_1,n_2)=n_1+(n_2\dotminus n_1)\] 得到。
指数函数可递归定义为 \[n^0=\overline{\operatorname{sg}}(n)\] 这里约定 \(0^0=0\)，并且\[n^{m+1}=n^m\times n\]
余数函数
设 \(f(\vec n,i)\) 是
类似地，有界求积 \[\prod_{i\le m}f(\vec n,i)\] 也是递归函数。
以有界求和为例。
定义 \[h(\vec n,0)=f(\vec n,0)\] \[h(\vec n,m+1)=h(\vec n,m)+f(\vec n,m+1)\] 因为加法和 \(f\)都递归，所以由递归规则可知 \(h\)递归。
再令 \[g(n_1,\dots,n_k)=h(n_1,\dots,n_{k-1},n_k)\] 由复合可知 \(g\) 递归。
有界求积把基础步改为 \[h(\vec n,0)=f(\vec n,0)\] 递推步改为 \[h(\vec n,m+1)=h(\vec n,m)\times f(\vec n,m+1)\] 即可。
汪芳庭第 3.4.2 节用特征函数定义递归关系。
设 \[R\subseteq\mathbb N^k\] 是 \(k\)元关系。若它的特征函数 \(C_R\)是递归函数，则称 \(R\)是递归关系。
一元递归关系也称为 \(\mathbb N\)的递归子集，简称递归集。
关系 \(\le\)、
事实上： \[C_{\le}(n_1,n_2)=\overline{\operatorname{sg}}(n_1\mathbin{\dot-} n_2)\]
因为 \(n_1\le n_2\) 当且仅当
相等关系可写为 \[C_{=}(n_1,n_2)=\overline{\operatorname{sg}}(|n_1-n_2|)\]
小于关系可写为 \[C_{<}(n_1,n_2)=C_{\le}(n_1+1,n_2)\]
若 \(R,R_1,R_2\) 是
由特征函数计算： \[C_{\overline R}(\vec n)=1\mathbin{\dot-} C_R(\vec n)\]
并关系： \[C_{R_1\cup R_2}(\vec n)=\operatorname{sg}(C_{R_1}(\vec n)+C_{R_2}(\vec n))\]
交关系： \[C_{R_1\cap R_2}(\vec n)=C_{R_1}(\vec n)\times C_{R_2}(\vec n)\]
右边都是递归函数的复合，所以仍递归。
设 \(R(\vec n,x)\) 是
同理， \[P(\vec n,m)\iff \forall x<m\,R(\vec n,x)\] 也是递归关系。
存在量词情形： \[C_Q(\vec n,m)=\operatorname{sg}\left(\sum_{x<m}C_R(\vec n,x)\right)\] 有界求和保持递归性，所以
全称量词情形可用补关系和有界存在表示： \[\forall x<m\,R(\vec n,x)\iff\neg\exists x<m\,\neg R(\vec n,x)\] 由递归关系对补和有界存在封闭，得
空集、全集、单点集和有限集都是递归集。比如
整除关系 \[\operatorname{Divi}(n_1,n_2)\iffn_1=0\text{ 或 }n_1\text{ 能整除 }n_2\] 也是递归关系。可用余数函数写为 \[C_{\operatorname{Divi}}(n_1,n_2)=\overline{\operatorname{sg}}(\operatorname{rem}(n_1,n_2))\]
素数集 \(\operatorname{Prm}\)也是递归集。一个数 \(n>1\)是素数，当且仅当在不大于 \(n\)的数中，它的因子只有 \(1\)和自身。可用有界求和表达“因子个数不超过两个”。因此素数的特征函数是递归函数
第 \(n\) 个素数函数
回到数论函数与 \(K_N\)公式的关系。
\[\mathrm{REP}=\{f\mid f\text{ 在 }K_N\text{ 中可表示}\}\]
\[\mathrm{REC}=\{f\mid f\text{ 是递归函数}\}\]
还定义一个辅助类
使用 \(\mathrm{REC}^\ast\)的原因是：加法、乘法、投影函数和
辅助类 \(\mathrm{REC}^\ast\)中的每个函数都是递归函数
加法、乘法和投影函数已经在 18.5 中证明递归
关系 \(\le\) 的特征函数
递归函数对复合封闭，对满足根存在条件的
所以由这些函数有限次构造出的
辅助类 \(\mathrm{REC}^\ast\)中的每个函数都在 \(K_N\) 中可表示。
加法、乘法和投影函数可表示，见命题 18.3.5。
关系 \(\le\)可表示，故其特征函数可表示，见命题 18.3.8。
由定理 18.4.1，复合保持可表示性。
由定理 18.4.3，\(\mu\)算子保持可表示性。
因此从这些初始函数出发有限次构造出的函数都可表示，即
每个递归函数都属于
关键在于说明递归定义可以用
设 \(f\) 由原始递归给出：
要计算 \(f(\vecn,y)\)，只需知道有限序列 \[a_0,a_1,\dots,a_y\] 其中 \[a_0=g(\vec n)\] \[a_{i+1}=h(\vec n,i,a_i)\] 最后输出 \(a_y\)
有限序列可以用素数幂编码为一个自然数： \[\langle a_0,\dots,a_y\rangle=2^{a_0+1}3^{a_1+1}\cdots p_y^{a_y+1}\] 序列长度、取第 \(i\)项、检查某数是否为这样的计算过程编码，都是可以由加法、乘法、
于是可定义一个 \(\mathrm{REC}^\ast\)关系： \[H(\vec n,y,s)\] 表示“\(s\) 编码了从
这说明原始递归规则可以在
基本函数也都属于
因此所有递归函数都属于
每个递归函数都在 \(K_N\)中可表示。
也就是 \[\mathrm{REC}\subseteq \mathrm{REP}\]
由命题 18.7.3， \[\mathrm{REC}\subseteq \mathrm{REC}^\ast\] 由命题 18.7.2， \[\mathrm{REC}^\ast\subseteq \mathrm{REP}\] 所以 \[\mathrm{REC}\subseteq \mathrm{REP}\]
这就是 Gödel不完备性定理所需的重要桥梁：凡是递归可计算的数论函数，都能变成
每个递归关系都在 \(K_N\)中可表示
若 \(R\) 是递归关系，则它的特征函数\(C_R\) 是递归函数
由递归函数可表示性定理，\(C_R\) 在\(K_N\) 中可表示
由命题 18.3.8，\(R\) 可表示
对 \(K_N\)自身的语法做递归分析。前面已经知道递归关系可表示，现在要证明：关于
这一步把形式系统变成自然数对象。完成之后，“某个数是公式的 Gödel数”“某个数是证明的 Gödel 数”“某个公式可证”都能写成算术公式
为了方便分析，把项和公式先写成前置式。例如：
\[t_1+t_2\] 写成 \[+t_1t_2\]
\[t_1\times t_2\] 写成 \[\times t_1t_2\]
\[t_1\approx t_2\] 写成 \[\approx t_1t_2\]
\[p\to q\] 写成 \[\to pq\]
前置式的好处是括号可以省略，但仍然能唯一恢复结构
给字母规定权重： \[w(x_i)=w(\bar0)=1\] \[w(')=w(\neg)=0\] \[w(+)=w(\times)=w(\approx)=w(\to)=w(\forall)=-1\]
字母串 \(u_1\cdots u_n\)的权重定义为 \[w(u_1\cdots u_n)=w(u_1)+\cdots+w(u_n)\]
在 \(K_N\) 的前置式中：
第一点对项和公式的构造作归纳
基本项 \(x_i\) 和
若 \(t\) 是项，则
若 \(t_1,t_2\) 是项，则
若 \(t_1,t_2\) 是项，则原子公式\[\approx t_1t_2\] 权重为 \[-1+1+1=1\]
否定公式 \(\neg p\) 权重为
第二点也对构造归纳。直观上，前置式的开头符号已经决定后面需要几个完整成分；在完整成分没有读完以前，权重不会回到\(1\)。例如
第三点由第二点推出。若同一字母串既能分为
所以前置式具有唯一读法
唯一读法引理保证我们可以机械判定一个有限字母串是不是项或公式，并且能机械地拆出它的组成部分
Gödel 数是把符号串编码为自然数的方法。
汪芳庭给每个基本字母分配一个奇数编码：
\[\begin{array}{c|ccccccccc}u&'&+&\times&\neg&\to&\forall&\approx&\bar0&x_i\\\hlineg(u)&1&3&5&7&9&11&13&15&15+2i\end{array}\]
不同字母有不同的 Gödel 数，而且全是奇数
若字母串为 \[u_0u_1\cdots u_k\] 则定义其 Gödel 数为 \[g(u_0u_1\cdots u_k)=2^{g(u_0)}3^{g(u_1)}\cdots p_k^{g(u_k)}\] 其中 \(p_k\) 是第
由于自然数素因子分解唯一，不同字母串的 Gödel 数不同
反过来，给定一个自然数，只需分解它的素因子，就能判断它是否是某个字母串的Gödel 数，并恢复该字母串
如果要编码一个字母串的有限序列 \[s_0,s_1,\dots,s_n\] 则再用同样方式编码： \[g(s_0,\dots,s_n)=2^{g(s_0)}3^{g(s_1)}\cdots p_n^{g(s_n)}\]
这里要注意两个层次：
同一个形式对象在不同层次出现时，编码方式不同，但每次使用时都能从上下文判断其身份
为了处理公式序列和证明序列，需要能递归地操作有限序列的编码。常用操作包括：
这些都基于素数幂编码。
例如，若 \[s=2^{a_0+1}3^{a_1+1}\cdots p_k^{a_k+1}\] 则“第 \(i\) 项为
过程值递归的基本形式是：若某函数的计算过程可以写成有限序列，并且每一步是否正确可递归检查，那么整个函数可由“寻找一个正确过程编码，再读取最后一项”得到。
这正是前面证明原始递归能被
以下集合都是递归集：
\(\mathrm{VS}\) 最简单。由编码表，\[g(x_i)=15+2i\] 作为独立字母串的 Gödel 数为 \[2^{15+2i}\] 因此 \[n\in\mathrm{VS}\iff\exists i<n\, (n=2^{15+2i})\] 这是有界存在形式，故递归。
\(\mathrm{TM}\)可按项的构造给出递归判定：
由于前置式唯一读法保证一个串的最外层构造可以唯一判定，所以“
\(\mathrm{YF}\) 只有原子公式
\(\mathrm{FM}\) 按公式构造判定：
同样由唯一读法，最外层构造可机械拆分，所以
后面构造自指公式时，需要把一个公式中的自由变元替换为某个数字。设\[\mathrm{Sub}(n_1,n_2,n_3)\] 表示如下函数关系：
\(n_1\) 是某个变元的 Gödel 数，
汪芳庭先分析一个三元递归关系
因为唯一读法保证这些情形互不混淆，并且每个子对象的 Gödel 数都小于整体Gödel 数，所以该替换关系是递归关系。
于是替换函数 \[\mathrm{Sub}(n_1,n_2,n_3)\] 也是递归函数。
特别地，令 \[\mathrm{Num}(n)=g(\bar n)\] 表示自然数 \(n\) 的数码
设 \(\mathrm{PRF}(x,y)\) 表示：
\(x\) 是
则 \(\mathrm{PRF}\) 是递归关系。
给定 \(x,y\)，先把
若解码成功，逐项检查：
逻辑公理模式、等词公理模式、算术公理模式的 Gödel数集合都是递归集。推理规则只涉及有限位置的公式匹配，也可递归检查。
所以 \(\mathrm{PRF}(x,y)\)是递归关系。
令 \[\mathrm{PA}=\{y\mid \exists x\,\mathrm{PRF}(x,y)\}\] 即 \(K_N\) 中可证公式的 Gödel数集合。则 \(\mathrm{PA}\)是递归可枚举集。
枚举自然数 \[x=0,1,2,\dots\] 对每个
由于 \(\mathrm{PRF}\)是递归关系，每一步检查有限完成。
所有可证公式都有某个有限证明，因此最终会被枚举出来。
第 4 章开始讨论不完备性。汪芳庭书先明确两个概念：完备性和
一个公式集 \(\Gamma\)称为完备的，若对任意闭式
也就是说，每个句子都能被 \(\Gamma\)判定。
公式集 \(\Gamma\) 称为
对每个自然数 \(n\)，
同时 \[\Gamma\vdash \neg\forall x\,p(x)\]
直观地说，
若 \(\Gamma\) 是
反证。若 \(\Gamma\)有矛盾，则在经典逻辑中，任意公式都可由
取任意公式 \(p(x)\)。因为
这正是 \(\omega\)-矛盾。
所以若 \(\Gamma\) 是
为了构造自指句，定义二元关系 \(W\)：\[W=\{(n_1,n_2)\midn_1\text{ 是某公式 }p(x_1)\text{ 的 Gödel 数，且 }n_2\text{ 是 }p(\bar n_1)\text{ 从 }N\text{ 的证明的 Gödel 数}\}\]
换句话说，\(W(n_1,n_2)\) 表示：
“\(n_2\) 是把
利用上一节的递归分析，可以写成： \[(n_1,n_2)\in W\iffn_1\in \mathrm{FM}\wedge\mathrm{PRF}\bigl(n_2,\mathrm{Sub}(g(x_1),n_1,\mathrm{Num}(n_1))\bigr)\]
其中 \(g(x_1)\) 是变元
因此 \(W\)是递归关系。由递归关系可表示性，存在
令 \[p(x_1)\equiv \forall x_2\,\neg w(x_1,x_2)\]
设 \(p(x_1)\) 的 Gödel 数为
把自己的 Gödel 数代入，得到闭式 \[p(\bar m)\] 即 \[\forall x_2\,\neg w(\bar m,x_2)\]
它的直观含义是：
不存在自然数 \(x_2\)，使
也就是说，\(p(\bar m)\) 在说：
\[\text{“我在 }N\text{ 中不可证。”}\]
设 \(N\) 是形式算术
若 \(N\) 无矛盾，则
若 \(N\) 是
因此若 \(N\) 是
先证明第一点。
反设 \[N\vdash p(\bar m)\] 设 \(n\) 是这个证明的 Gödel数。由 \(W\) 的定义，
另一方面，由 \[p(\bar m)\equiv \forall x_2\,\neg w(\bar m,x_2)\] 和 \[N\vdash p(\bar m)\] 可用全称实例化推出 \[N\vdash \neg w(\bar m,\bar n)\]
于是 \(N\) 同时证明
所以 \[N\not\vdash p(\bar m)\]
再证明第二点。
反设 \[N\vdash \neg p(\bar m)\] 即 \[N\vdash \neg\forall x_2\,\neg w(\bar m,x_2)\]
由第一点，\(p(\bar m)\) 在
现在令 \[q(x_2)\equiv \neg w(\bar m,x_2)\] 则对每个 \(n\)，
这说明 \(N\) 是
所以若 \(N\) 是
因此 \(p(\bar m)\)和它的否定都不可证，\(N\) 不完备。
这个证明的关键如下：
第一，证明关系 \(\mathrm{PRF}\)可递归分析
第二，递归关系可在 \(K_N\)中表示
第三，把“我没有证明”这个语法事实算术化，并把自己的 Gödel 数代入
Gödel 原始定理中，为了证明 \(\neg p(\barm)\) 不可证，需要
设 \(N^\ast\) 是
\[W(n_1,n_2)\] 表示 \(n_2\) 是
\[W^\ast(n_1,n_2)\] 表示 \(n_2\) 是
由于 \(N^\ast\)的公理集合可递归判定，两个证明关系仍然是递归关系，故可由公式
定义 Rosser 公式： \[r(x_1)\equiv\forall x_2\left(w(x_1,x_2)\to\exists y(y\le x_2\wedge w^\ast(x_1,y))\right)\]
设 \[m=g(r(x_1))\] 则 Rosser 句为 \[r(\bar m)\]
它的直观含义是：
若我有一个证明，那么我的否定也有一个不长于它的证明
若 \(N^\ast\) 是
这里只写证明主线。
先反设 \[N^\ast\vdash r(\bar m)\] 取 \(r(\bar m)\) 的最小证明Gödel 数为 \(n\)。则
由 Rosser 句 \[r(\bar m)\] 可推出 \[\exists y(y\le \bar n\wedge w^\ast(\bar m,y))\] 即存在一个不超过 \(n\) 的\(\neg r(\bar m)\) 的证明。
这与 \(N^\ast\) 无矛盾矛盾。
再反设 \[N^\ast\vdash \neg r(\bar m)\] 取 \(\neg r(\bar m)\)的最小证明 Gödel 数为 \(n\)。则
如果存在 \(y\le n\) 使
结合 \[W^\ast(m,n)\] 可推出 Rosser 句本身 \[r(\bar m)\] 从而又与 \[N^\ast\vdash \neg r(\bar m)\] 矛盾。
所以 \(r(\bar m)\)与其否定都不可证
Rosser改进的意义在于：普通无矛盾就足以推出形式算术的不可完备性，不需要
Church问题问的是：是否存在一个机械方法，能够判定任意一阶谓词逻辑公式是否为有效式，或者判定任意形式算术公式是否可证
不完备性和递归论结果给出的回答是否定的。
如果存在一个算法能判定所有足够强的形式算术定理，那么就可以把可证性作为递归关系表示出来，再构造一个说“我不可证”的句子。这个句子会导致与Gödel 构造同类的矛盾。
因此，足够强的形式算术不存在判定其全部定理的算法。
设 \[\mathrm{Con}(N)\] 是“\(N\)无矛盾”的算术化公式。例如可以写成： \[\neg\exists x\,\mathrm{PRF}(x,\ulcorner \bar0'\approx\bar0\urcorner)\] 表示不存在一个证明推出明显矛盾 \[\bar0'\approx\bar0\]
若 \(N\) 无矛盾，则
这里只说明证明思想。
第一不完备性定理的证明可以在 \(N\)内部形式化：在 \(N\) 中可以证明
若又有 \[N\vdash \mathrm{Con}(N)\] 则由 MP 得 \[N\vdash p(\bar m)\] 这与第一不完备性定理中“若
所以在 \(N\) 真正无矛盾时，
第二不完备性不是说我们永远不能证明
一个形式系统称为可判定的，是指存在算法，对任意公式
若 \(N\) 无矛盾，则
证明思想如下
若 \(N\) 的定理集是递归集，则“
再把这个公式自己的 Gödel 数代入，就得到一个更强的自指句
若 \(N\vdash G\)，则与
若 \(N\not\vdashG\)，由于不可证性关系被假定可判定并可表示，
两种情况都矛盾。
所以 \(N\) 的定理集不可判定。
形式算术的定理集虽然不可判定，但它是递归可枚举的：枚举所有证明，输出每个证明的末公式即可。这种“可枚举但不可判定”的现象是递归论和数理逻辑中的核心现象
第 4.3 节继续讨论递归可枚举集和算术可定义性。
集合 \(A\subseteq\mathbb N\)称为递归可枚举集，若存在递归关系
等价地说，可以用机械过程列出 \(A\)的所有元素。若 \(x\inA\)，它最终会被列出；若 \(x\notinA\)，过程可能永远不会给出否定回答。
集合 \(A\) 是递归集，当且仅当
若 \(A\) 是递归集，则可以依次检查\[0,1,2,\dots\] 是否属于 \(A\)。属于就列入\(A\)，不属于就列入
反过来，若 \(A\) 和
由于 \(x\)必在其中一个集合中，它最终会出现在其中一个枚举里。若出现在
所以 \(A\) 递归。
\(K_N\) 中可证公式的 Gödel 数集合\[\mathrm{PA}=\{y\mid \exists x\,\mathrm{PRF}(x,y)\}\] 是递归可枚举集。
因为 \(\mathrm{PRF}(x,y)\)是递归关系，所以 \[y\in \mathrm{PA}\iff\exists x\,\mathrm{PRF}(x,y)\] 正是递归可枚举集的定义形式。
也可以直接理解为：枚举所有自然数作为候选证明编码，凡是合法证明，就输出它证明的公式。
集合 \(A\subseteq\mathbb N\)称为算术集，若存在
这里的 \(\mathbb N\models\)表示在标准自然数模型中为真。注意这不是说
若 \(A\) 是递归可枚举集，则
因为 \(A\) 递归可枚举，存在递归关系\(R(x,y)\)，使
递归关系可在 \(K_N\)中表示，所以存在公式 \[r(x,y)\] 表示 \(R\)。
令 \[p(x)\equiv \exists y\,r(x,y)\]
则在标准模型中， \[\mathbb N\models p(\bar n)\] 当且仅当存在自然数 \(m\) 使\[R(n,m)\] 成立，也就是 \[n\in A\]
所以 \(A\) 是算术集。
设 \[\mathrm{TRUE}=\{\ulcorner p\urcorner\mid p\text{ 是在标准自然数模型中为真的闭式}\}\] 则 \(\mathrm{TRUE}\)不是算术集。
这就是 Tarski 真理不可定义定理在算术中的形式。
反证。假设存在公式 \[T(x)\] 定义真理，即对每个闭式
考虑公式 \[\neg T(x)\] 用自指构造得到闭式
若 \(G\) 真，则由
若 \(G\) 假，则
所以标准算术真理不能由算术公式定义。
这个结论比不完备性还强：不完备性说某些真句在给定系统中不可证；真理不可定义定理说，所有真算术句构成的集合甚至不能在算术内部整体定义出来
递归函数是一种形式化的可计算性定义，Turing机是另一种形式化定义。二者最终给出同一类可计算函数
一台 Turing 机包含：
每条指令规定：在当前状态和当前读到的符号下，
机器的某一时刻完整情况称为瞬时描述，包括：
一次计算就是瞬时描述的有限或无限序列
函数 \[f:\mathbb N^k\to\mathbb N\] 称为 Turing 可计算，若存在一台 Turing 机，对每个输入
若只讨论处处有定义的函数，则机器对每个输入都必须停机
一个数论函数是 Turing 可计算的，当且仅当它是部分递归函数
这里只写证明思路。
先看从递归函数到 Turing 机。
零函数、后继函数、投影函数都可以直接由 Turing机计算。函数复合对应机器程序的串接：先计算内部函数，再把输出交给外部函数。原始递归对应有限循环。
所以部分递归函数都 Turing 可计算。
再看从 Turing 机到递归函数。
把一台机器的瞬时描述编码成自然数，包括状态、纸带内容和读写头位置。机器从一个瞬时描述到下一个瞬时描述的转移是有限表控制的，所以是递归函数
设 \[C_M(x,t)\] 表示机器 \(M\) 在输入
“\(M\) 在
因此 Turing 机计算的函数是部分递归函数
Turing 论题，也称 Church-Turing 论题：
一切直观上能机械计算的函数，正是 Turing可计算函数，也就是递归函数
不存在一台 Turing 机能判定任意机器在任意输入上是否停机。
反证。假设存在判定机
构造新机器 \(E\)，输入一台机器
现在考察 \(E(E)\)
若 \(E(E)\) 停机，则按
若 \(E(E)\) 不停机，则按
所以停机判定机不存在
停机集合 \[K=\{\langle M,x\rangle\mid M(x)\text{ 停机}\}\] 是递归可枚举集，但不是递归集
\(K\)递归可枚举：枚举所有机器输入对，并逐步模拟运行。只要某个机器在某个输入上停机，就输出对应编码
\(K\) 不是递归集：若
从 Turing 论题看，只要一种过程能被明确写成机械规则，它就应当可以由Turing 机模拟。因此“机械可计算”有一个非常稳定的数学刻画
但 Gödel不完备性说明：对足够强的形式算术系统来说，总存在该系统无法判定的算术句。若一个人站在系统外部承认系统无矛盾，就能看出Gödel 句在标准模型中为真；但系统内部不能证明它
这不应被简单理解成“人一定超过机器”。更准确的说法是：任何固定的、递归给出的形式系统，只要它足够强且无矛盾，就不能穷尽全部算术真理。若把人的推理也完全固定为某个递归形式系统，那么同样会受到不完备性限制
]]>先讨论自然语言中的论说
一个论说通常由若干前提和一个结论组成： \[\frac{P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_n}{C}\]
其中 \(P_1,\dots,P_n\) 是前提，
论说的好坏不取决于结论事实上是否为真，而取决于前提是否足以支持结论
若不存在前提全真而结论假的情形，则称该论说是有效的
若一组命题不可能同时为真，则称这组命题是不一致的；否则称为一致的
因此：
论说的评价可以分成两个层次：
逻辑主要研究第二个问题，也就是说，逻辑并不首先判断前提事实上是否真，而是判断：\[\text{如果前提都真，结论是否必真}\]
例如：
\[\frac{\text{所有人都会死},\quad\text{苏格拉底是人}}{\text{苏格拉底会死}}\]
这个论说在形式上有效。即使有人争论某个前提，逻辑形式仍然是可靠的
而 \[\frac{\text{所有猫都是动物},\quad \text{狗是动物}}{\text{狗是猫}}\]
前提可以都真，但结论假，所以形式无效
形式化以后，上面两个论说分别对应：
\[\frac{\forall x(H(x)\to M(x)),\ H(s)}{M(s)}\]
和
\[\frac{\forall x(C(x)\to A(x)),\ A(d)}{C(d)}\]
第二个形式犯的是“肯定后件”的错误
设 \(T\) 是一组命题或公式，
若 \(A\) 可以从
若没有前提也能推出 \(A\)，则称
若 \[T\not\vdash A\] 且 \[T\not\vdash \neg A\] 则称 \(A\) 相对于
独立性表示：在给定前提或公理系统
若一个系统或公式集 \(T\)能推出某个公式及其否定： \[T\vdash A,\qquad T\vdash\neg A\] 则称 \(T\)不一致
若不存在这样的 \(A\)，则称
在经典逻辑中，不一致会导致爆炸原则：
由 \(A\) 可得
又有 \(\neg A\)
由析取三段论： \[A\vee B,\quad \neg A\vdash B\]
因此从矛盾 \(A,\neg A\) 可以推出任意\(B\)
设 \(P_1,\dots,P_n,C\) 是命题，则\[P_1,\dots,P_n\models C\] 当且仅当 \[P_1,\dots,P_n,\neg C\] 不一致
若 \(P_1,\dots,P_n\modelsC\)，则不存在一种情形使所有
但 \(C\) 为假正是
反过来，若 \(P_1,\dots,P_n,\neg C\)不一致，则不可能所有 \(P_i\) 为真且\(\neg C\) 为真
也就是说，只要所有 \(P_i\)为真，\(C\) 就不能为假，只能为真
所以 \[P_1,\dots,P_n\models C\]
形式逻辑首先要把自然语言论说翻译成形式语言，然后在形式系统中推演
一个形式系统通常包含：
命题逻辑中，字母表一般包括：
一阶逻辑中，还要加入：
对象语言是被研究的形式语言。例如命题逻辑中的
元语言是用来谈论对象语言的语言，例如：
常见记号区别如下：
| 记号 | 层次 | 含义 |
|---|---|---|
| 对象语言 | 公式内部的蕴含联结词 | |
| 元语言 | “推出”“因此” | |
| 元语言 | 形式可证 | |
| 元语言 | 语义有效或语义后承 | |
| 元语言 | 两个公式等值 |
\[A\to B\] 是一个公式；而 \[A\models B\] 不是公式，而是说“所有使 \(A\)为真的解释也使 \(B\) 为真”
在形式系统中，从公式集 \(\Gamma\)推出公式 \(A\)，记作
含义是：存在一个有限公式序列，每一步要么是
若 \[\varnothing\vdash A\] 则称 \(A\)是系统中的定理，通常简写为
这里要区分：
可靠性和完全性正是研究这两个关系之间的联系
可靠性： \[\Gamma\vdash A \Rightarrow \Gamma\models A\]
完全性： \[\Gamma\models A \Rightarrow \Gamma\vdash A\]
一致性： 是否存在
可判定性： 是否存在机械过程，对任意公式
命题逻辑是可判定的，因为可以列真值表
一阶逻辑有效性不是一般可判定的，但它是半可判定的：若一个公式有效，原则上可以通过枚举证明最终找到证明；若无效，则不一定能有限步停机确认
一个形式系统若满足： \[\Gamma\vdash A \Rightarrow \Gamma\models A\] 则称它是可靠的
可靠性说明：系统中能证明出来的结论不会在语义上出错
一个形式系统若满足： \[\Gamma\models A \Rightarrow \Gamma\vdash A\] 则称它是完全的
完全性说明：所有语义上有效的结论，都能在系统中被形式证明出来
如果同时有可靠性和完全性，则形式证明与语义有效性完全吻合：
若形式系统的每条公理都是有效式，并且每条推理规则都保持有效性，则该形式系统可靠
设 \[\Gamma\vdash A\] 即存在一个从 \(\Gamma\) 到\(A\) 的有限推演序列
对推演序列的长度作归纳。
若某一步是前提，则它在所有满足
若某一步是公理，则由假设，公理是有效式，在所有解释下为真
若某一步由前面若干步通过推理规则得到，由归纳假设，前面若干步在所有满足\(\Gamma\)的解释下为真；又推理规则保持有效性，所以这一步也为真
因此推演最后一步 \(A\) 在所有满足\(\Gamma\) 的解释下为真，即
可靠性通常只要逐条检查公理和规则；完全性要说明：只要一个公式在语义上不可反驳，就一定能在形式系统中找到证明
在命题逻辑中，完全性可以借助真值表或主范式证明
在一阶逻辑中，完全性对应 Gödel 完全性定理，其内容是：
这和后面的 Gödel不完全性定理不是同一个命题。完全性定理说的是“一阶逻辑本身的推理系统足够强”；不完全性定理说的是“足够表达算术的具体理论不可能同时满足某些理想性质”。
设 \(A\) 是命题公式，
若 \(v(A)=1\)，称
若 \(v\) 满足公式集
若存在某个 \(v\) 满足
若没有任何 \(v\) 满足
若每个满足 \(\Gamma\)的真值指派都满足 \(A\)，则称
特别地，若 \(\varnothing\modelsA\)，则称 \(A\)是重言式或有效式
\[\Gamma\models A\iff\Gamma\cup\{\neg A\}\text{ 不可满足}\]
若 \(\Gamma\models A\)，则任意满足\(\Gamma\) 的真值指派都满足
因此不可能存在真值指派同时满足
所以 \(\Gamma\cup\{\neg A\}\)不可满足
反过来，若 \(\Gamma\cup\{\neg A\}\)不可满足，则不存在真值指派满足
于是每个满足 \(\Gamma\)的真值指派都满足 \(A\)，即
命题公式 \(A\)是否为重言式是可判定的
若 \(A\) 中只出现
共有 \(2^n\) 种赋值
逐一计算 \(A\) 在这
这个过程有限步结束，所以重言式判定是可判定的
讲义把命题演算看成从“语义判断”进入“形式推演”的阶段：
费奇式推演的特点是用缩进或竖线表示临时假设的作用范围。
典型结构如下：
\[\begin{array}{ll}1. & A \quad \text{假设}\\2. & \cdots\\3. & B\\4. & A\to B \quad \to\text{ 引入}\end{array}\]
这表示：若在临时假设 \(A\) 下推出了\(B\)，则可退出该假设，得到
费奇式推演常用规则包括：
费奇式推演的核心是子证明
子证明以一个临时假设开始： \[[A]\]
在该假设作用范围内推出若干公式。退出子证明后，可以使用引入规则把整段子证明包装成一个公式
最常见的是蕴含引入： \[\begin{array}{c}[A]\\\vdots\\B\\\hlineA\to B\end{array}\]
其意思是：如果在假设 \(A\)的条件下可以推出
否定引入类似： \[\begin{array}{c}[A]\\\vdots\\\bot\\\hline\neg A\end{array}\]
其中 \(\bot\) 表示矛盾
费奇式推演中，析取消去常写为分情况讨论：
若有 \[A\vee B\] 并且：
则可推出 \(C\)。
形式为： \[\begin{array}{c}A\vee B\\[A]\quad \vdots\quad C\\[B]\quad \vdots\quad C\\\hlineC\end{array}\]
这对应自然语言中的“分情况讨论”：无论析取式哪一边成立，结论
证明： \[A\to B,\ B\to C\vdash A\to C\]
推演：
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | \(A\toB\) | 前提 |
| 2 | \(B\toC\) | 前提 |
| 3 | 临时假设 | |
| 4 | 1,3 蕴含消去 | |
| 5 | 2,4 蕴含消去 | |
| 6 | \(A\toC\) | 3-5 蕴含引入 |
其中第 3 步的假设只在子证明中有效；第 6步退出该假设，得到条件命题
证明： \[A\to B,\ A\to\neg B\vdash \neg A\]
推演：
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | \(A\toB\) | 前提 |
| 2 | \(A\to\negB\) | 前提 |
| 3 | 临时假设 | |
| 4 | 1,3 蕴含消去 | |
| 5 | \(\negB\) | 2,3 蕴含消去 |
| 6 | 4,5 矛盾 | |
| 7 | \(\negA\) | 3-6 否定引入 |
这正是反证思路：假设
设 \(\Gamma\) 是一组命题公式
若 \(\Gamma\) 不能推出矛盾，则称\(\Gamma\)是一致的
若 \(\Gamma\) 一致，并且对任意公式\(A\)，只要
极大一致集可以理解为“已经尽可能完整而又不矛盾的一套命题选择”
任意一致的命题公式集 \(\Gamma\)都可以扩张为某个极大一致集
把所有命题公式排成一个序列： \[A_1,A_2,A_3,\dots\]
从 \(\Gamma_0=\Gamma\)开始递归构造：
若 \[\Gamma_n\cup\{A_{n+1}\}\] 一致，则令 \[\Gamma_{n+1}=\Gamma_n\cup\{A_{n+1}\}\]
否则令 \[\Gamma_{n+1}=\Gamma_n\cup\{\neg A_{n+1}\}\]
最后令 \[\Delta=\bigcup_{n=0}^{\infty}\Gamma_n\]
每一步都保持一致；若加入 \(A_{n+1}\)会不一致，则加入 \(\neg A_{n+1}\)保持一致，否则原来的 \(\Gamma_n\)会已经推出 \(A_{n+1}\) 与
构造后，对任意公式 \(A_i\)，恰有\(A_i\) 或
因此 \(\Delta\) 是极大一致集
若 \(\Delta\)是极大一致集，则对任意命题公式
这里只说明思路
由于 \(\Delta\) 极大一致，对任意公式\(A\)，若
这意味着从 \(\Delta\cup\{A\}\)可推出矛盾，因此从 \(\Delta\) 可推出\(\neg A\)，于是
同时 \(A\) 与
所以 \(A\) 与
其他三条由对应联结词的引入和消去规则推出。例如
析取和蕴含情形类似
若 \[\Gamma\models A\] 则 \[\Gamma\vdash A\]
证明逆否命题
假设 \[\Gamma\not\vdash A\]
则 \[\Gamma\cup\{\neg A\}\] 是一致的；否则若它不一致，就可由反证法推出
由 Lindenbaum 扩张思想，把 \[\Gamma\cup\{\neg A\}\] 扩张为极大一致集
根据极大一致集的性质，定义真值指派
再由极大一致集关于联结词的性质可得： \[v_\Delta(B)=1 \iff B\in\Delta\] 对任意命题公式 \(B\) 成立
由于 \[\Gamma\subseteq\Delta\] 所以 \(v_\Delta\) 满足
又因为 \[\neg A\in\Delta\] 所以 \(v_\Delta(A)=0\)
因此存在一个满足 \(\Gamma\) 但不满足\(A\) 的赋值，说明
于是逆否命题成立，即 \[\Gamma\models A\Rightarrow\Gamma\vdash A\]
在一阶谓词演算中，除了命题联结词规则，还需要量词规则
量词规则比命题规则更容易出错，因为它们涉及“任意对象”“某个对象”和变量是否自由。
在公式 \[\forall xA\] 或 \[\exists xA\] 中，量词后面的 \(A\)是量词的辖域
若变元 \(x\) 的出现位于某个
例如： \[\forall x(P(x)\to Q(y))\] 中，\(x\) 是约束变元，
在量词规则中，经常需要把项 \(t\)代入公式 \(A(x)\) 中的自由
这种代入必须避免变量捕获
例如： \[\forall yR(x,y)\] 中，把 \(y\) 代入
原来作为自由项出现的 \(y\) 被
所以全称消去和存在引入中都要附加条件：项
常见规则包括：
全称消去： \[\frac{\forall xA(x)}{A(t)}\] 其中 \(t\) 可以代入
存在引入： \[\frac{A(t)}{\exists xA(x)}\]
全称引入： 若在不依赖于关于
存在消去： 若由 \(\existsxA(x)\) 可临时取一个新的对象
存在消去中的“新对象”条件很重要：
若 \[\forall xA(x)\] 成立，则对任意可代入项
\(\forall xA(x)\)的含义是：论域中任意对象都满足
项 \(t\)在给定解释下表示论域中的某个对象
既然任意对象都满足 \(A\)，那么
所以可推出 \[A(t)\]
可代入条件保证代入没有改变公式中变量的绑定关系。
从 \[\exists xA(x)\] 使用存在消去时，引入的新常元
\(\exists xA(x)\)只说明“至少有一个对象满足
因此临时引入的 \(c\)只能表示“某个任意选取的见证对象”
如果 \(c\)已经出现在前提或结论中，就可能把“存在某个对象”误读为“这个指定对象”
例如从 \[\exists xP(x)\] 不能推出 \[P(a)\] 因为 \(a\) 可能不是那个满足\(P\) 的对象。
所以存在消去要求 \(c\)是新常元，并且最终推出的结论不能依赖
证明： \[\forall x(P(x)\to Q(x)),\ \forall xP(x)\vdash \forall xQ(x)\]
推演：
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | \(\forallx(P(x)\to Q(x))\) | 前提 |
| 2 | \(\forallxP(x)\) | 前提 |
| 3 | \(P(a)\toQ(a)\) | 1 全称消去 |
| 4 | 2 全称消去 | |
| 5 | 3,4 蕴含消去 | |
| 6 | \(\forallxQ(x)\) | 5 全称引入 |
这里 \(a\) 是任意对象，没有使用关于\(a\)的特殊前提，所以最后可以全称引入
证明： \[\exists x(P(x)\wedge Q(x))\vdash \exists xP(x)\]
推演：
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | \(\existsx(P(x)\wedge Q(x))\) | 前提 |
| 2 | \(P(c)\wedgeQ(c)\) | 存在消去临时假设， |
| 3 | 2 合取消去 | |
| 4 | \(\existsxP(x)\) | 3 存在引入 |
| 5 | \(\existsxP(x)\) | 1,2-4 存在消去 |
第 5 步退出关于 \(c\)的临时假设，因为最终结论 \(\existsxP(x)\) 不含 \(c\)
带等词的一阶逻辑把 \(=\)作为逻辑符号
等词通常满足：
自同一性： \[x=x\]
替换性： 若 \[x=y\] 且公式 \(A(x)\)成立，则可推出 \[A(y)\]
也就是说，相等对象在任意性质和关系中可以相互替换
由 \[a=b,\quad P(a)\] 可推出 \[P(b)\]
这是替换性的直接应用。
若有函数符号 \(f\)，由
这表示函数对相等对象取相等值。
若 \[a_1=b_1,\dots,a_n=b_n\] 则对任意 \(n\) 元函数符号\(f\)， \[f(a_1,\dots,a_n)=f(b_1,\dots,b_n)\]
对任意 \(n\) 元谓词符号
这是相等替换性的多次应用
函数情形：从 \(a_1=b_1\) 可把
谓词情形同理。若 \[R(a_1,\dots,a_n)\] 成立，则逐项用 \(a_i=b_i\)替换，得 \[R(b_1,\dots,b_n)\]
反向由 \(b_i=a_i\) 得到。
若有公式 \[\exists xA(x)\] 则引入一个新的常元
这个 \(c\)称为该存在公式的见证常元。
直观上，如果存在某个对象满足
加入足够多的 Henkin 见证后，极大一致理论可以构造出一个模型
这里只写证明思路
设 \(\Delta\) 是带 Henkin见证的极大一致理论
用语言中的闭项构成模型的对象
若有等词，则把可证明相等的闭项看成同一个对象
谓词解释为： \[R(t_1,\dots,t_n)\text{ 在模型中为真}\] 当且仅当 \[R(t_1,\dots,t_n)\in\Delta\]
函数解释按项的构造给出。
关键在于存在量词：若 \[\exists xA(x)\in\Delta\] 则 Henkin 公理保证某个见证常元
于是存在命题在构造出的模型中确实有见证
这样就能证明 \(\Delta\)中每个公式都在该模型中为真，从而得到模型存在
一阶逻辑的紧致性定理说：
若公式集 \(\Gamma\)的每个有限子集都有模型，则 \(\Gamma\)有模型
等价地：
若 \[\Gamma\models A\] 则存在有限子集 \[\Gamma_0\subseteq\Gamma\] 使得 \[\Gamma_0\models A\]
紧致性说明：一阶逻辑的语义后承虽然可以有无限多前提，但真正推出某个公式时，只需要有限多个前提
若一阶逻辑可靠且完全，则可推出紧致性
设 \(\Gamma\models A\)
由完全性， \[\Gamma\vdash A\]
形式证明是有限长的，所以证明中实际用到的前提只可能是
则 \[\Gamma_0\vdash A\]
由可靠性， \[\Gamma_0\models A\]
所以只需有限前提即可推出 \(A\)
令 \(A\)为矛盾式，也得到“若每个有限子集可满足，则整体可满足”的形式
存在一个一阶理论，它有任意大的有限模型约束，并因此有无限模型
设语言中有无穷多个常元 \[c_0,c_1,c_2,\dots\]
加入公式： \[c_i\neq c_j\qquad (i\neq j)\]
任取有限多个这样的公式，只涉及有限多个常元，可以用一个足够大的有限集合解释这些常元，使它们两两不同
所以每个有限子集都有模型
由紧致性，整个公式集有模型
在这个模型中，所有 \(c_i\)解释为两两不同的对象，因此模型必须是无限的
这个例子说明，一阶逻辑可以通过无限理论“逼出”无限模型，但单个一阶句子通常不能表达“论域无限”
Löwenheim-Skolem 定理讨论一阶理论模型的大小
若一个可数一阶理论有无限模型，则它有可数无限模型
更一般地，一阶理论如果有足够大的无限模型，往往也有较小基数的模型
这个定理体现了一阶逻辑表达能力的限制：一阶句子通常不能唯一刻画某个无限结构的基数
集合论可以在一阶语言中谈论不可数集合；但 Löwenheim-Skolem定理又说明，如果这个一阶理论有模型，则在适当条件下它有可数模型
于是出现所谓 Skolem 悖论：可数模型内部也可能“认为”某个集合不可数
关键在于：
内外视角不同，所以并不真正矛盾
一阶 Peano 算术有标准模型
但由 Löwenheim-Skolem 和紧致性相关思想可知，一阶 Peano算术也有非标准模型
这些模型中除了 \[0,1,2,\dots\] 所对应的标准部分，还存在“非标准自然数”
因此，一阶公理可以刻画许多算术性质，却不能把自然数结构唯一固定到只剩标准模型
在一个结构中，若某个集合或关系可以由一阶公式刻画，则称它是可定义的
设结构为 \(\mathcal{M}\)，公式为\(A(x)\)。若
如果公式中允许参数，则称为带参数可定义；否则称为无参数可定义
在结构 \[(\mathbb{Z},+,\times,0,1)\] 中，偶数集合可以用公式 \[\exists y(x=y+y)\] 定义
因为 \(x\) 是偶数，当且仅当存在整数\(y\) 使 \[x=2y=y+y\]
若一个关系可以直接由某个公式定义，称为显式可定义
若一个关系虽然没有给出直接公式，但在结构或理论中被其他符号唯一决定，称为隐式可定义
在经典模型论中有 Beth 可定义性定理：
若一个关系在一阶理论中隐式可定义，则它也显式可定义
直观地说，一阶逻辑中“被唯一决定”和“可用公式写出来”在这种意义下是一致的
不完全性并非对一阶逻辑的完全性定理的否定
一阶逻辑完全性定理说： \[\Gamma\models A \Rightarrow \Gamma\vdash A\]
Gödel 不完全性定理讨论的是能表达足够算术的形式理论
粗略说，若 \(T\) 满足：
则存在算术命题 \(G\)，使得在
这说明：足够强的一致形式算术理论不可能把所有算术真理都证明出来
Gödel 不完全性证明的关键技术是算术化
它把符号、公式、证明这些语法对象编码为自然数。
例如可以给每个基本符号分配一个自然数编码，再把有限符号串编码成一个自然数
这样，“\(n\) 是某个公式的编码”“
一旦语法可以在算术内部表达，理论就可以谈论自身的证明行为
不完全性证明构造一个句子
若 \(T\) 证明了
若 \(T\) 证明了
因此在一致且足够强的理论中，\(G\)既不可证也不可反证
第一不完全性定理：
足够强且一致的可有效公理化理论是不完全的，即存在既不能证明也不能反证的命题
第二不完全性定理：
足够强且一致的理论不能在自身内部证明自己的相容性
直观地说，形式系统可以非常强，但只要它足够表达算术并保持一致，就无法完全封闭地证明自身没有矛盾
]]>离散数学及其应用（第 2 版）（屈婉玲等）
符号逻辑讲义（徐明）
命题是能判断真假的陈述句。真命题真值为
不能再分解的命题称为简单命题或原子命题，常用\[p,q,r,p_1,q_1,\dots\] 表示
由简单命题和联结词构成的命题称为复合命题
常用联结词如下：
| 联结词 | 符号 | 复合命题 | 真值条件 |
|---|---|---|---|
| 否定 | \(\negp\) | \(p\)真时 \(\neg p\) 假， | |
| 合取 | \(p\wedgeq\) | \(p,q\)同真时为真 | |
| 析取 | \(p\veeq\) | \(p,q\)至少一个真时为真 | |
| 蕴含 | \(p\toq\) | 仅当前件真、后件假时为假 | |
| 等价 | \(p,q\)真值相同时为真 |
真值表为：
| \(\negp\) | \(p\wedgeq\) | \(p\veeq\) | \(p\toq\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
蕴含式 \(p\toq\)：不表示两个命题之间一定有因果关系，只表示一种真值函数，只要\(p\) 为假，
命题公式递归定义如下：
命题公式也称为合式公式
为减少括号，通常约定联结词优先级为： \[\neg,\quad \wedge,\quad \vee,\quad \to,\quad \leftrightarrow\] 其中 \(\neg\)优先级最高，\(\leftrightarrow\)优先级最低
给命题公式中所有命题变项指定真值，称为该公式的一个赋值或解释
若公式 \(A\) 中有
在每个赋值下，公式 \(A\)都有唯一确定的真值
若 \(A\) 在所有赋值下均为真，则称\(A\)为重言式或永真式，记为
若 \(A\) 在所有赋值下均为假，则称\(A\)为矛盾式或永假式
若 \(A\) 至少在一个赋值下为真，则称\(A\) 为可满足式
既不是重言式也不是矛盾式的公式称为偶然式
设 \(A\) 是命题公式，则：
由否定联结词真值表： \[v(\neg A)=1-v(A)\]
若 \(A\) 在所有赋值下都为真，则\(\neg A\) 在所有赋值下都为假，所以\(\neg A\) 是矛盾式
反过来，若 \(\neg A\) 是矛盾式，则\(\neg A\) 在所有赋值下都为假，故
第二条同理
第三条只是“存在赋值使 \(A\)为真”和“并非所有赋值都使 \(A\)为假”的等价
设 \(A,B\)是命题公式。若在任意赋值下 \(A\) 与\(B\) 的真值都相同，则称
等值式也可以用重言式刻画： \[A\equiv B \iff A\leftrightarrow B\text{ 是重言式}\]
常用基本等值式如下：
| 名称 | 等值式 |
|---|---|
| 双重否定律 | \(\neg\negA\equiv A\) |
| 幂等律 | \(A\veeA\equiv A,\quad A\wedge A\equiv A\) |
| 交换律 | \(A\veeB\equiv B\vee A,\quad A\wedge B\equiv B\wedge A\) |
| 结合律 | \((A\veeB)\vee C\equiv A\vee(B\vee C)\)； |
| 分配律 | |
| De Morgan 律 | \(\neg(A\veeB)\equiv\neg A\wedge\neg B\)； |
| 吸收律 | |
| 零律 | \(A\vee1\equiv 1,\quad A\wedge 0\equiv 0\) |
| 同一律 | \(A\vee0\equiv A,\quad A\wedge 1\equiv A\) |
| 排中律 | \(A\vee\negA\equiv 1\) |
| 矛盾律 | \(A\wedge\negA\equiv 0\) |
| 蕴含等值式 | \(A\toB\equiv\neg A\vee B\) |
| 等价等值式 | |
| 假言易位 | \(A\toB\equiv\neg B\to\neg A\) |
| 等价否定等值式 | |
| 归谬论 | \((A\to B)\wedge (A \to \neg B) \equiv \neg A\) |
等值演算就是不断用已知等值式替换公式中的子公式，从而把一个公式化成更方便的形式
若 \(A\equiv B\)
则在任意命题公式中，把某处出现的
化简： \[\neg(p\to q)\vee(p\wedge q)\]
有 \[\neg(p\to q)\vee(p\wedge q)\equiv\neg(\neg p\vee q)\vee(p\wedge q)\]
\[\equiv(p\wedge\neg q)\vee(p\wedge q)\]
\[\equivp\wedge(\neg q\vee q)\]
\[\equivp\wedge 1\]
\[\equiv p\]
命题变项及其否定统称为文字
有限个文字的合取称为简单合取式：
有限个文字的析取称为简单析取式：
有限个简单合取式的析取称为析取范式
有限个简单析取式的合取称为合取范式
也就是说： \[D_1\vee D_2\vee\cdots\vee D_m\] 是析取范式，其中每个 \(D_i\)是简单合取式；
\[C_1\wedge C_2\wedge\cdots\wedge C_m\] 是合取范式，其中每个 \(C_i\)是简单析取式。
任意命题公式都可以化为与之等值的析取范式，也可以化为与之等值的合取范式
按等值演算步骤处理
第一步，消去蕴含和等价： \[A\to B\equiv \neg A\vee B\] \[A\leftrightarrow B\equiv(A\wedge B)\vee(\neg A\wedge\neg B)\]
第二步，把否定号内移到命题变项前： \[\neg\neg A\equiv A\] \[\neg(A\vee B)\equiv\neg A\wedge\neg B\] \[\neg(A\wedge B)\equiv\neg A\vee\neg B\]
第三步，使用分配律： \[A\wedge(B\vee C)\equiv(A\wedge B)\vee(A\wedge C)\] 可得到析取范式；
使用 \[A\vee(B\wedge C)\equiv(A\vee B)\wedge(A\vee C)\] 可得到合取范式
每一步都是等值变形，所以最终公式与原公式等值
设公式含命题变项 \[p_1,p_2,\dots,p_n\]
含全部 \(n\)个命题变项的简单合取式称为极小项，其中每个命题变项恰出现一次，形式为\(p_i\) 或
极小项只在一个赋值下为真
含全部 \(n\)个命题变项的简单析取式称为极大项，其中每个命题变项恰出现一次，形式为\(p_i\) 或
极大项只在一个赋值下为假
由极小项组成的析取范式称为主析取范式
由极大项组成的合取范式称为主合取范式
求主析取范式的方法：
求主合取范式的方法：
若任意命题公式都可以用某个联结词集合中的联结词表示，则称这个联结词集合是功能完备集
教材中常用的功能完备集有： \[\{\neg,\wedge,\vee\}\]
\[\{\neg,\wedge\}\]
\[\{\neg,\vee\}\]
\[\{\neg,\to\}\]
集合 \[\{\neg,\wedge\},\quad \{\neg,\vee\},\quad \{\neg,\to\}\] 都是功能完备集
由范式存在定理，任意命题公式都可化为只含
的公式
对 \(\{\neg,\wedge\}\)：
对 \(\{\neg,\vee\}\)：
对 \(\{\neg,\to\}\)：
因此这三组联结词都是功能完备集
设 \(A_1,A_2,\dots,A_k,B\)是命题公式。若对任意赋值，只要
推理有效性的真值表判定： \[A_1,\dots,A_k\models B\] 当且仅当 \[(A_1\wedge A_2\wedge\cdots\wedge A_k)\to B\] 是重言式
也等价于 \[A_1\wedge A_2\wedge\cdots\wedge A_k\wedge\neg B\] 是矛盾式
设 \(A_1,\dots,A_k,B\)是命题公式，则以下三者等价：
第一条等价于第二条：
对任意赋值，若所有前提为真则结论为真，正是
第二条等价于第三条：
蕴含式 \[(A_1\wedge\cdots\wedge A_k)\to B\] 等值于 \[\neg(A_1\wedge\cdots\wedge A_k)\vee B\]
它不是重言式，当且仅当存在赋值使 \[A_1\wedge\cdots\wedge A_k\] 为真且 \(B\) 为假，也就是\[A_1\wedge\cdots\wedge A_k\wedge\neg B\] 可满足
所以蕴含式是重言式，当且仅当前提合取再合取
自然推理系统 \(P\)由三部分组成：
系统 \(P\) 的基本推理规则包括：
常用推理规则如下：
| 名称 | 推理形式 |
|---|---|
| 假言推理 | \(\dfrac{A\toB,\ A}{B}\) |
| 附加规则 | |
| 化简规则 | |
| 拒取式规则 | \(\dfrac{A\toB,\ \neg B}{\neg A}\) |
| 等价三段论 | |
| 假言三段论 | \(\dfrac{A\toB,\ B\to C}{A\to C}\) |
| 析取三段论 | \(\dfrac{A\veeB,\ \neg B}{A}\) |
| 构造性二难 | \(\dfrac{A\toB,\ C\to D,\ A\vee C}{B\vee D}\) |
| 构造性二难 | \(\dfrac{A\toB,\ \neg A\to B}{B}\) |
| 破坏性二难 | \(\dfrac{A\toB,\ C\to D,\ \neg B\vee\neg D}{\neg A\vee\neg C}\) |
| 合取引入 | \(\dfrac{A,\B}{A\wedge B}\) |
\[A\to B,\ A\models B\]
只需证明 \[((A\to B)\wedge A)\to B\] 是重言式
若前件为真，则 \(A\to B\) 为真且\(A\) 为真
由蕴含联结词真值表，\(A\) 真且
所以不可能出现前件真而后件假的赋值，该蕴含式为重言式
\[A\to B,\ \neg B\models \neg A\]
由假言易位：\(A\to B\equiv \neg B\to\negA\)
于是前提 \(A\to B\) 可置换为
再由假言推理，从 \[\neg B\to\neg A,\quad \neg B\] 推出 \[\neg A\]
故拒取式有效
证明： \[p\vee q,\ q\to r,\ p\to s,\ \neg s\models r\vee q\]
证明序列可写为：
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | \(p\veeq\) | 前提引入 |
| 2 | \(q\tor\) | 前提引入 |
| 3 | \(p\tos\) | 前提引入 |
| 4 | \(\negs\) | 前提引入 |
| 5 | \(\negp\) | 3,4 拒取式 |
| 6 | 1,5 析取三段论 | |
| 7 | 2,6 假言推理 | |
| 8 | \(r\veeq\) | 7 附加规则 |
所以推理有效
命题逻辑把简单命题看作整体，不能分析命题内部的个体、性质和关系。
一阶逻辑引入：
两个基本量词：
| 量词 | 符号 | 读法 |
|---|---|---|
| 全称量词 | 对任意、所有 | |
| 存在量词 | 存在、至少有一个 |
例如在论域为全体人的情况下：
全称命题常写成蕴含式： \[\forall x(P(x)\to Q(x))\] 表示“所有 \(P\) 都是
存在命题常写成合取式： \[\exists x(P(x)\wedge Q(x))\] 表示“存在某个对象既是 \(P\)又是 \(Q\)”
“没有 \(P\) 是
一阶逻辑中常见符号包括：
项表示个体：
原子公式包括：
一阶公式由原子公式经过命题联结词和量词构成。
在 \(\forall xA\) 或
若 \(x\) 的一次出现受到
没有自由变项的公式称为闭式
给出一阶公式的解释时，需要指定：
在解释确定以后，一阶公式才有真值
设个体域为整数集
则 \[\exists x(P(x)\wedge Q(x))\] 表示“存在正偶数”，为真
而 \[\forall x(P(x)\to Q(x))\] 表示“所有偶数都是正数”，为假。
定义 16.10 一阶逻辑等值式与置换规则
若一阶公式 \(A,B\)在任意解释下真值都相同，则称 \(A\) 与\(B\) 等值，记为
命题逻辑中的等值式在一阶逻辑中仍可使用
一阶逻辑特有的基本等值式主要是量词等值式：
\[\neg\forall xA(x)\equiv \exists x\neg A(x)\]
\[\neg\exists xA(x)\equiv \forall x\neg A(x)\]
\[\forall x(A(x)\wedge B(x))\equiv \forall xA(x)\wedge\forall xB(x)\]
\[\exists x(A(x)\vee B(x))\equiv \exists xA(x)\vee\exists xB(x)\]
若 \(x\) 不在
\[\forall x(A(x)\wedge B)\equiv \forall xA(x)\wedge B\]
\[\exists x(A(x)\wedge B)\equiv \exists xA(x)\wedge B\]
\[\forall x(A(x)\vee B)\equiv \forall xA(x)\vee B\]
\[\exists x(A(x)\vee B)\equiv \exists xA(x)\vee B\]
相同量词可以交换： \[\forall x\forall yA(x,y)\equiv\forall y\forall xA(x,y)\]
\[\exists x\exists yA(x,y)\equiv\exists y\exists xA(x,y)\]
但不同量词一般不能随意交换： \[\forall x\exists yA(x,y)\not\equiv\exists y\forall xA(x,y)\]
一阶逻辑的置换规则：若 \[A\equiv B\] 则在公式中可以用 \(B\)置换某处出现的
\[\neg\forall xA(x)\equiv \exists x\neg A(x)\]
\[\neg\exists xA(x)\equiv \forall x\neg A(x)\]
第一式：
\(\neg\forall xA(x)\) 表示“并非所有\(x\) 都满足
这等价于“存在某个 \(x\) 不满足
第二式：
\(\neg\exists xA(x)\) 表示“不存在\(x\) 满足
这等价于“所有 \(x\) 都不满足
\[\forall x(A(x)\wedge B(x))\equiv \forall xA(x)\wedge\forall xB(x)\]
\[\exists x(A(x)\vee B(x))\equiv \exists xA(x)\vee\exists xB(x)\]
第一式：
\(\forall x(A(x)\wedge B(x))\)表示对每个对象 \(x\)，
这等价于：
即 \[\forall xA(x)\wedge\forall xB(x)\]
第二式：
\(\exists x(A(x)\vee B(x))\)表示存在某个对象 \(x\)，使
这等价于“存在对象使 \(A(x)\)成立，或者存在对象使 \(B(x)\) 成立”，即\[\exists xA(x)\vee\exists xB(x)\]
一般没有： \[\forall x(A(x)\vee B(x))\equiv \forall xA(x)\vee\forall xB(x)\]
也一般没有： \[\exists x(A(x)\wedge B(x))\equiv \exists xA(x)\wedge\exists xB(x)\]
例如在个体域 \(\{1,2\}\) 上，令\(A(x)\) 表示
则 \[\forall x(A(x)\vee B(x))\] 为真，但 \[\forall xA(x)\vee\forall xB(x)\] 为假
同时 \[\exists xA(x)\wedge\exists xB(x)\] 为真，但 \[\exists x(A(x)\wedge B(x))\] 为假
若一阶公式写成 \[Q_1x_1Q_2x_2\cdots Q_nx_nB\] 其中每个 \(Q_i\) 是
前面的 \[Q_1x_1Q_2x_2\cdots Q_nx_n\] 称为量词前缀，\(B\)称为母式
例如： \[\forall x\exists y(P(x)\to R(x,y))\] 是前束范式
化前束范式的一般步骤：
任意一阶逻辑公式都可以化为与之等值的前束范式
按前束范式的化法逐步变形
第一步，利用 \(A\to B\equiv \neg A\veeB\) 和 \(A\leftrightarrowB\equiv(A\wedge B)\vee(\neg A\wedge\neg B)\) 消去
第二步，利用命题逻辑的否定等值式和量词否定等值式：
第三步，如果两个量词使用同一个变项，或量词变项与自由变项冲突，则先改名约束变项
第四步，利用量词辖域扩张与收缩公式，把量词逐步提出到公式最前面
经过有限步等值变形后，得到形如 \[Q_1x_1Q_2x_2\cdots Q_nx_nB\] 的公式，其中 \(B\)不含量词
每一步都保持等值，因此所得前束范式与原公式等值
将 \[\forall xP(x)\to \exists yQ(y)\] 化为前束范式。
先消去蕴含： \[\forall xP(x)\to \exists yQ(y)\equiv\neg\forall xP(x)\vee \exists yQ(y)\]
用量词否定律： \[\equiv\exists x\neg P(x)\vee \exists yQ(y)\]
提出量词： \[\equiv\exists x\exists y(\neg P(x)\vee Q(y))\]
所以其一个前束范式为 \[\exists x\exists y(\neg P(x)\vee Q(y))\]
]]>在算法课中，FFT 作用是把两个次数界为
\[O(n\log n)\]
更一般地，FFT可以快速计算卷积，因此也会出现在整数乘法、字符串匹配、模式匹配、信号处理等问题中
设有两个多项式：
\[A(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\]
\[B(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_{n-1}x^{n-1}\]
它们的乘积为：
\[C(x)=A(x)B(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{2n-2}x^{2n-2}\]
其中第 \(i\) 项系数为：
\[c_i=\sum_{k=0}^{i}a_kb_{i-k}\]
这里默认越界的系数为 \(0\)
这个公式就是卷积。若直接按照定义计算，每个
\[O(n^2)\]
系数表示就是直接保存：
\[(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1})\]
这种表示下：
Horner 法可以写成：
\[A(x_0)=a_0+x_0(a_1+x_0(a_2+\cdots+x_0a_{n-1})\cdots)\]
它只需要线性次乘加
一个次数界为 \(n\) 的多项式也可以用\(n\) 个点值对表示：
\[\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),\ldots,(x_{n-1},y_{n-1})\}\]
其中 \(x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}\)两两不同，并且：
\[y_k=A(x_k)\]
\(n\)个互不相同点上的取值可以唯一确定一个次数界为
这个结论可以从范德蒙德矩阵看出来。把求值关系写成矩阵：
\[\begin{bmatrix}1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^{n-1}\\1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\\vdots\\a_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_0\\y_1\\\vdots\\y_{n-1}\end{bmatrix}\]
左边矩阵是范德蒙德矩阵。它的行列式为：
\[\prod_{0\leq j<k\leq n-1}(x_k-x_j)\]
只要所有 \(x_k\)互不相同，行列式就非零，因此矩阵可逆，系数唯一存在
如果：
\[C(x)=A(x)B(x)\]
那么对任意点 \(x_k\) 都有：
\[C(x_k)=A(x_k)B(x_k)\]
也就是说，在相同求值点上，只要逐点相乘就可以得到乘积多项式的点值表示。
但有一个次数问题：若 \(A\) 和
因此，用点值表示做多项式乘法的思路是：
如果第一步和第三步都能在 \(O(n\logn)\) 时间内完成，总乘法就能达到
FFT 的作用是高效完成这两种表示之间的转换
FFT 的特殊求值点来自单位复数根
\(n\) 次单位复数根是满足：
\[\omega^n=1\]
的复数。它们一共有 \(n\)个，均匀分布在复平面的单位圆上：
\[1,\omega_n,\omega_n^2,\ldots,\omega_n^{n-1}\]
其中：
\[\omega_n=e^{2\pi i/n}\]
称为主 \(n\) 次单位根。
由欧拉公式：
\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\]
可知：
\[\omega_n=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\]
对任意正整数 \(d\)，有：
\[\omega_{dn}^{dk}=\omega_n^k\]
因为：
\[\omega_{dn}^{dk}=\left(e^{2\pi i/(dn)}\right)^{dk}=e^{2\pi ik/n}=\omega_n^k\]
这个性质说明，高阶单位根的某些幂会退化成低阶单位根
当 \(n\) 为偶数时，
\[(\omega_n^k)^2=\omega_n^{2k}=\omega_{n/2}^k\]
并且：
\[(\omega_n^{k+n/2})^2=\omega_n^{2k+n}=\omega_n^{2k}\]
FFT 分治正是利用这个性质：把 \(n\)个求值点平方后，只剩下 \(n/2\)个不同的求值点
\[\sum_{j=0}^{n-1}\omega_n^{jk}=\begin{cases}n & n\mid k\\0 & n\nmid k\end{cases}\]
当 \(n\nmid k\)时，这是等比数列：
\[\sum_{j=0}^{n-1}\omega_n^{jk}=\frac{1-(\omega_n^k)^n}{1-\omega_n^k}=0\]
因为 \((\omega_n^k)^n=1\)，但
给定系数向量：
\[a=(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1})\]
定义多项式：
\[A(x)=\sum_{j=0}^{n-1}a_jx^j\]
它的离散傅里叶变换 DFT 是向量：
\[y=(y_0,y_1,\ldots,y_{n-1})\]
其中：
\[y_k=A(\omega_n^k)=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\omega_n^{jk},\qquad 0\leq k<n\]
所以 DFT 本质上就是把多项式 \(A(x)\)在 \(n\) 个单位复数根处求值
用矩阵表示：
\[\begin{bmatrix}y_0\\y_1\\\vdots\\y_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\1 & \omega_n & \omega_n^2 & \cdots & \omega_n^{n-1}\\1 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \cdots &\omega_n^{2(n-1)}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} & \cdots &\omega_n^{(n-1)(n-1)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\\vdots\\a_{n-1}\end{bmatrix}\]
这仍然是一个范德蒙德矩阵，只是求值点被固定为：
\[1,\omega_n,\omega_n^2,\ldots,\omega_n^{n-1}\]
朴素计算这个矩阵乘法需要：
\[O(n^2)\]
FFT 的目标是把它降到：
\[O(n\log n)\]
设 \(n\) 是
\[A^{[0]}(x)=a_0+a_2x+a_4x^2+\cdots+a_{n-2}x^{n/2-1}\]
\[A^{[1]}(x)=a_1+a_3x+a_5x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n/2-1}\]
则：
\[A(x)=A^{[0]}(x^2)+xA^{[1]}(x^2)\]
现在要计算：
\[A(\omega_n^0),A(\omega_n^1),\ldots,A(\omega_n^{n-1})\]
代入上式：
\[A(\omega_n^k)=A^{[0]}((\omega_n^k)^2)+\omega_n^kA^{[1]}((\omega_n^k)^2)\]
由于：
\[(\omega_n^k)^2=\omega_{n/2}^k\]
因此只需要递归地把 \(A^{[0]}\) 和\(A^{[1]}\) 在
令：
\[y_k^{[0]}=A^{[0]}(\omega_{n/2}^k)\]
\[y_k^{[1]}=A^{[1]}(\omega_{n/2}^k)\]
对 \(0\leq k<n/2\)，有：
\[y_k=A(\omega_n^k)=y_k^{[0]}+\omega_n^k y_k^{[1]}\]
同时：
\[y_{k+n/2}=A(\omega_n^{k+n/2})\]
注意：
\[\omega_n^{k+n/2}=\omega_n^k\omega_n^{n/2}=-\omega_n^k\]
而：
\[(\omega_n^{k+n/2})^2=(\omega_n^k)^2\]
所以：
\[y_{k+n/2}=y_k^{[0]}-\omega_n^k y_k^{[1]}\]
因此一次递归得到两个长度为 \(n/2\)的 DFT 后，只需要 \(O(n)\)时间就能合并成长度为 \(n\) 的 DFT
递归算法可以写成：
1 | RECURSIVE-FFT(a) |
每一层递归做两次规模为 \(n/2\) 的FFT，再做 \(O(n)\) 的合并：
\[T(n)=2T(n/2)+O(n)\]
由主定理得到：
\[T(n)=O(n\log n)\]
递归树也可以直观看出这一点：
所以总时间为：
\[O(n\log n)\]
上面的递归 FFT 假设 \(n\) 是
在多项式乘法中，这通常不是问题：可以把系数向量补零到不小于结果长度的下一个\(2\) 的幂
例如两个长度为 \(n\)的系数向量相乘，结果长度最多为
\[N=2^{\lceil \log_2(2n-1)\rceil}\]
然后把两个输入都补到长度 \(N\)
但需要注意，这不是说“任意长度的 DFT 都可以无损地当作长度为
假设 \(n\) 是
DFT 把系数向量 \(a\) 变成点值向量\(y\)，逆 DFT 要做相反的事：给定：
\[y_0,y_1,\ldots,y_{n-1}\]
恢复：
\[a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\]
由上面的矩阵变换得：
\[a_j=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}y_k\omega_n^{-jk}\]
也就是说，逆 DFT 与 DFT 几乎一样，只需要把
把 \(y_k\) 展开：
\[\begin{aligned}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}y_k\omega_n^{-jk}&=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sum_{\ell=0}^{n-1}a_\ell\omega_n^{\ell k}\right)\omega_n^{-jk}\\&=\frac{1}{n}\sum_{\ell=0}^{n-1}a_\ell\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^{(\ell-j)k}\end{aligned}\]
由单位根求和性质：
\[\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^{(\ell-j)k}=\begin{cases}n & \ell=j\\0 & \ell\neq j\end{cases}\]
所以最后只剩下：
\[a_j\]
因此逆 DFT 的公式成立
逆 DFT 可以直接复用 FFT 框架：
1 | INVERSE-FFT(y) |
时间复杂度仍然是：
\[O(n\log n)\]
现在可以把前面的内容组合起来
输入：
\[A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\]
\[B(x)=\sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i\]
目标是输出：
\[C(x)=A(x)B(x)\]
算法：
1 | FFT-POLYNOMIAL-MULTIPLY(a, b) |
补零后，\(A\) 和
\[N\geq \deg(A)+\deg(B)+1\]
乘积 \(C\) 的系数可以被长度
FFT 求出的是：
\[A(\omega_N^k),\quad B(\omega_N^k)\]
逐点相乘得到：
\[A(\omega_N^k)B(\omega_N^k)=C(\omega_N^k)\]
也就是 \(C\) 在
由于次数界为 \(N\) 的多项式由
算法包含：
所以总时间为：
\[O(N\log N)\]
当 \(N=O(n)\) 时：
\[O(n\log n)\]
空间复杂度通常为：
\[O(N)\]
若递归实现中频繁复制数组，实际可能产生额外空间；工程实现中通常使用迭代原地FFT
对两个序列：
\[a=(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1})\]
\[b=(b_0,b_1,\ldots,b_{m-1})\]
它们的线性卷积定义为：
\[(a*b)_t=\sum_i a_i b_{t-i}\]
其中越界项视为 \(0\)
如果构造多项式：
\[A(x)=\sum_i a_ix^i,\qquad B(x)=\sum_i b_ix^i\]
那么：
\[A(x)B(x)=\sum_t (a*b)_t x^t\]
所以卷积就是多项式乘法的系数
因此，FFT 可以在：
\[O((n+m)\log(n+m))\]
时间内计算线性卷积
DFT 本身天然对应长度为 \(N\)的循环卷积
如果不补零，超过 \(N-1\)次的高次项会折回低次项，相当于在模
为了得到普通的线性卷积，必须取：
\[N\geq n+m-1\]
并把两个序列都补零到长度 \(N\)
这也是多项式乘法算法中要先补零的原因
给定长度为 \(n\) 的二进制串
\[L=\{i:S[i]=1\}\]
判断是否存在三个位置：
\[a<b<c\]
满足：
\[S[a]=S[b]=S[c]=1\]
并且三者等距：
\[b-a=c-b\]
等价地：
\[a+c=2b\]
例如：
11100000 中有位置 110110010 中有位置 1011 中没有三个等距的 直接枚举起点 \(i\) 和间距
\[i,\ i+d,\ i+2d\]
检查这三个位置是否都是 \(1\)
起点和间距各有 \(O(n)\)种，时间复杂度为：
\[O(n^2)\]
构造多项式：
\[P(x)=\sum_{i\in L}x^i\]
计算：
\[Q(x)=P(x)^2\]
设：
\[Q(x)=\sum_t q_tx^t\]
则 \(q_t\) 表示有多少个有序对
\[a,c\in L,\qquad a+c=t\]
现在固定一个中点 \(b\inL\)。如果存在 \(a,c\in L\)使得：
\[a+c=2b,\qquad a\neq c\]
那么：
\[a,b,c\]
就是三个等距的 \(1\)
为什么检查 \(q_{2b}\geq 3\)？
所以：
\[q_{2b}\geq 3\]
当且仅当存在以 \(b\)为中点的非平凡等距三元组
算法：
1 | THREE-EVENLY-SPACED-ONES(S) |
构造和扫描是 \(O(n)\)，FFT 乘法是\(O(n\log n)\)，所以总时间为：
\[O(n\log n)\]
给定文本：
\[t[0],t[1],\ldots,t[n-1]\]
和模式串：
\[p[0],p[1],\ldots,p[m-1]\]
目标是找所有位移 \(i\)，使得：
\[t[i+j]=p[j],\qquad 0\leq j<m\]
也就是：
\[t[i:i+m-1]=p\]
朴素算法对每个位置比较 \(m\)个字符，最坏时间为：
\[O(nm)\]
如果把字符编码为数字，可以用卷积一次性计算所有位置的匹配分数。
把每个字符编码成一个整数。对位移
\[X[i]=\sum_{j=0}^{m-1}(t[i+j]-p[j])^2\]
显然：
\[X[i]=0\]
当且仅当所有对应字符都相同，即位移
展开平方：
\[\begin{aligned}X[i]&=\sum_{j=0}^{m-1}t[i+j]^2-2\sum_{j=0}^{m-1}p[j]t[i+j]+\sum_{j=0}^{m-1}p[j]^2\end{aligned}\]
其中：
令：
\[Y[i]=\sum_{j=0}^{m-1}p[j]t[i+j]\]
只要能快速算出所有
令 \(t^*\) 是
\[t^*[k]=t[n-1-k]\]
构造两个多项式：
\[F(x)=\sum_{j=0}^{m-1}p[j]x^j\]
\[G(x)=\sum_{k=0}^{n-1}t^*[k]x^k\]
看乘积 \(H(x)=F(x)G(x)\) 中
\[\begin{aligned}[x^{n-1-i}]H(x)&=\sum_{j=0}^{m-1}p[j]t^*[n-1-i-j]\\&=\sum_{j=0}^{m-1}p[j]t[i+j]\\&=Y[i]\end{aligned}\]
因此一次卷积就能得到所有位移的交叉项
算法：
1 | FFT-STRING-MATCHING(t, p) |
总时间为：
\[O(n\log n)\]
这里默认字符编码满足：两个字符相同当且仅当编码相同
若模式串中允许通配符 *，它可以匹配任意字符
可以把通配符位置设为
定义新的匹配分数： \[X[i]=\sum_{j=0}^{m-1}p[j](t[i+j]-p[j])^2\]
如果 \(p[j]=0\)，这一项自动为
如果 \(p[j]\neq 0\)，这一项为
\[t[i+j]=p[j]\]
因此：
\[X[i]=0\]
当且仅当模式串在位置 \(i\)匹配文本
展开：
\[\begin{aligned}X[i]&=\sum_{j=0}^{m-1}p[j]t[i+j]^2-2\sum_{j=0}^{m-1}p[j]^2t[i+j]+\sum_{j=0}^{m-1}p[j]^3\end{aligned}\]
这里需要两类交叉相关：
\[\sum p[j]t[i+j]^2\]
和：
\[\sum p[j]^2t[i+j]\]
它们都可以用“模式系数多项式乘以反转文本系数多项式”的方式通过 FFT求出
具体地：
因此带通配符的版本仍然可以在：
\[O(n\log n)\]
时间内完成
核心思想是：递归不断按偶数下标和奇数下标拆分，等价于按照下标的二进制位逆序重新排列输入。
例如 \(n=8\)时，下标的三位二进制和位逆序为：
| 原下标 | 二进制 | 位逆序 | 新位置 |
|---|---|---|---|
| 0 | 000 | 000 | 0 |
| 1 | 001 | 100 | 4 |
| 2 | 010 | 010 | 2 |
| 3 | 011 | 110 | 6 |
| 4 | 100 | 001 | 1 |
| 5 | 101 | 101 | 5 |
| 6 | 110 | 011 | 3 |
| 7 | 111 | 111 | 7 |
先做位逆序置换后，再按长度
每个合并单元都由若干个“蝴蝶操作”组成。设当前块长度为
\[u=a[k+j]\]
\[v=w\cdot a[k+j+m/2]\]
输出为：
\[a[k+j]=u+v\]
\[a[k+j+m/2]=u-v\]
这正是递归合并公式：
\[y_k=y_k^{[0]}+\omega y_k^{[1]}\]
\[y_{k+n/2}=y_k^{[0]}-\omega y_k^{[1]}\]
迭代实现的优势是：
标准 FFT 使用复数，因此会有浮点误差
如果输入是整数，理论上卷积结果也是整数。工程实现中常见做法是：
当系数很大或长度很长时，浮点误差可能累积，需要更谨慎的处理。
如果必须精确计算整数卷积，可以使用模意义下的 FFT，也常称为 NTT(Number TheoreticTransform)。它把复数单位根替换成模素数意义下的原根，从而避免浮点误差
只要在某个代数结构中存在合适的主
本节核心结论：
| 内容 | 结论 |
|---|---|
| 系数表示 | 多项式直接用系数向量表示，乘法朴素为\(O(n^2)\) |
| 点值表示 | 在相同点上相乘即可得到乘积点值 |
| 插值唯一性 | \(n\)个不同点值唯一确定次数界为 \(n\)的多项式 |
| DFT | 在 |
| FFT | 用奇偶拆分和单位根折半性质在 |
| 逆 DFT | 用 |
| 多项式乘法 | FFT 求值，逐点相乘，逆 FFT 插值，总时间\(O(n\log n)\) |
| 卷积 | 多项式乘法的系数就是卷积 |
| 等距 1 | 用 |
| 字符串匹配 | 用卷积快速计算所有位移的相关项 |
从算法设计角度看，FFT展示了一个技巧：当直接处理对象困难时，可以换一种表示方法；如果两种表示之间能快速转换，就可能让原本昂贵的操作变得便宜
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